Где еще можно прочитать об Алкуине и его знаменитой задаче

Баврин И.И., Фрибус Е.А. Занимательные задачи по математике — М.: ВЛАДОС, 1999.

Баврин И.И., Фрибус Е.А. Старинные задачи — М.: Просвещение, 1994.

Белов В.Н. Головоломки из близкой дали // Компьютерра. — 2000. — № 1.

Депман И.Я. История арифметики — М.: Просвещение, 1965.

Леман И. Увлекательная математика — М.: Знание, 1985.

Попов Г.Н. Сборник исторических задач по элементарной математике — М. — Л.: Главная редакция научно-популярной и юношеской литературы, 1938.

НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА №7-2002, c. 69-70.

«Загадки» Бонифация как поэтический памятник каролингского возрождения Текст научной статьи по специальности «История и археология»

УДК 82-16 Вестник СПбГУ. Сер. 9. 2011. Вып. 2

А. Ю. Митрофанов

«ЗАГАДКИ» БОНИФАЦИЯ КАК ПОЭТИЧЕСКИЙ ПАМЯТНИК КАРОЛИНГСКОГО ВОЗРОЖДЕНИЯ

Каролингское возрождение, ознаменовавшее собой рецепцию античной словесности и воссоздание ученого энциклопедизма в землях бывшей Западной Римской империи, стало чрезвычайно творческим этапом в истории раннего средневековья. Этот этап, в сущности, означал восстановление исторической преемственности как с античной культурой, так и с раннехристианской патристической письменностью, прерванной в У1-У11 вв. Процесс этот играл особенно важную роль тогда, когда Испания, наиболее романизированная область бывшей Римской империи (не считая Италию), была завоевана маврами. В настоящей работе представляется необходимым, не вдаваясь в подробности генезиса каролингского возрождения и его периодизации, остановиться на рассмотрении поэтических сочинений одного из самых ранних деятелей данного культурного движения — Бонифация Майнцского. В определенном смысле он может считаться предвозвестником каролингского возрождения как в литературном, так и в мировоззренческом отношении. Стоит отметить, что поэтические произведения Бонифация позволяют в полной мере восстановить его «библиотеку» и осветить проблему рецепции памятников классической латинской литературы накануне каролингского возрождения.

Бонифаций (Винфрид), архиепископ Майнцский, родился около 672 г. в Кредитоне графства Эксетер (ныне Девоншир). Как известно из «Жития Бонифация», составленного Вилибальдом, в юности Винфрид поступил в один из бенедиктинских монастырей в Экстере, а затем перешел в Натселлский монастырь близ Саутгемптона (графство Гемпшир). В этом монастыре он был рукоположен в сан пресвитера около 702 г., а затем в 716 г., покинув монастырь, отправился с христианской миссией к диким германским племенам, жившим за Рейном. В 719 г. Винфрид получил благословение папы Григория II и новое имя, а спустя четверть века в 745 г. он был избран епископом Могунции (Майнца), древнего римского форпоста на верхнем Рейне, и принял хиротонию в сан. С этого момента Бонифаций посвящал всю свою деятельность организации миссионерских экспедиций вглубь Швабских и Тюрингских лесов, обратив в христианскую веру многие германские племена, обитавшие в долине Майны и к северу от нее. В весьма преклонном возрасте, когда Бонифацию было уже за восемьдесят лет, он решил отправиться в миссионерскую поездку к низовьям Рейна в земли языческого племени фризов.1а-Иопе, quam… тЬиш”11. Поэтические дарования Бонифация были отмечены как многими современниками, так и некоторыми писателями, жившими в последующие века [1].

1 «Он постиг как красноречие грамматического искусства и рифмованную размеренность внутреннего дара слова, так и. » [1, р. 1; 2].

© А. Ю. Митрофанов, 2011

В частности, Сигеберт из Жамблу, хронист XI в., свидетельствовал о том, что “Bonifa-cius episcopus scripsit metrico stylo librum de uirtutibus et uitiis”2, и очень высоко оценивал творчество Бонифация. Главным поэтическим произведением Бонифация стали его «Загадки», адресованные нареченной сестре иерарха Леобгите. Леобгита писала впоследствии своему нареченному брату: “Ergo unica filia sum ambobus parentibus meis et utinam licet sim indigna ut merear te in fratris locum accipere quia in nullo hominum generis mei tanta fiducia spei posita est mihi quanta in te”3.

«Загадки» Бонифация представляют собой своеобразный памятник ранней каролингской литературы, распространенный на протяжении последующих веков вплоть до конца средневековья. Рукописная традиция памятника была исследована в конце XIX в. Е. Дюммлером, который предпринял его критическое издание. Примечательно, что древнейшая рукопись памятника Codex Petropolitanus quondam Corbeiensis (598 г.) из собрания аббатства Сен-Жермен де Пре, датированная VIII в., наряду с «Загадками» содержит ряд других поэтических произведений раннего средневековья. Среди них следует отметить некоторые стихи Бонифация, не вошедшие в сборник «Загадок», стихотворения Фортуната и папы Дамаса.

Литературная композиция «Загадок» Бонифация достаточно проста. В начале произведения после пространного «инципита»4 следует стихотворное предисловие, в иносказательной форме излагающее содержание произведения. Из предисловия следует, что Бонифаций предлагает Леобгите повествование о десяти добродетелях, названных “au-rea poma quae in lingo uitae crescebant floribus almis”5. Автор кратко пишет о благотворном влиянии этих плодов и об их сладости. Затем он предостерегает сестру от десяти дурных плодов, которые несут погибель человеку, вкусившему их, и которыми прельстился Адам: “Sunt alia alterius ligni acerbissima mala”6. После указанного предисловия следует содержательная часть произведения, в которой Бонифаций в иносказательной форме раскрывает сущность десяти добродетелей и десяти противоположных им пороков, формируя повествование как рассказ, ведущийся каждой добродетелью и пороком от первого лица. Вначале следует рассказ любви о самой себе (caritas ait), затем вещают католическая вера, надежда, справедливость, истина, милосердие, терпение, истинный христианский мир, христианское смирение, смиренное девство. После этого автор представляет читателю такой же рассказ, ведущийся от первого лица каждым пороком, противостоящим вышеозначенным добродетелям и состязающимся с ними. Среди этих пороков находятся низменная страстность, гордыня, хмель от обжорства, пьянство, роскошь, зависть, невежество, пустая слава и хвастовство, небрежность, гневливость.

Бонифаций наделяет добродетели и пороки сознательной разумной душой, персонифицирует их. Например, католическая вера рассказывает о себе у Бонифация таким образом:

2 «Бонифаций, епископ, написал книгу о добродетелях и пороках рифмованным стилем» [2, Coll. 572].

3 «Итак, я — единственная дочь у обоих моих родителей, и как бы там ни было, хотя я не достойна, да заслужу принять тебя вместо брата, ибо ни на кого из рода людского я не возлагала такого надежного упования, какое возлагаю на тебя».

4 “Incipiunt aenigmata Bonifatii episcopi quae misit sorori suae” («Начинаются загадки епископа Бонифация, которые он отправил своей сестре») [1, p. 3-4].

5 «Золотые плоды, которые произрастают на древе от благодатных цветов» [1].

6 «Существуют иные жесточайшие, дурные плоды другого дерева» [1].

Fecunda et fortis uernans uirtutibus altis,

Ipsius altithroni ductrix et nuntia dicor.

Dum Christi populo per mundum labara porto.

Et uirtute mea uiuentes legibus aequis Sacrantur Christo et demuntur cromina prisca7.

Католической вере Бонифаций не противопоставляет неверие — подобный порок представлялся каролингским писателям пережитком древнего язычества. Антиподом веры у Бонифация служит гордыня, которая говорит о себе следующее:

Serpens angelicus genuit me in culmine caeli,

Uiperea spirans et crimina noxia cordi;

Pellexi et populi insidiando milia multa,

E superis regnis trudens in Tartara nigra8.

Главным литературным принципом «Загадок» является наделение отвлеченной идеи (в данном случае добродетели или порока) конкретными качествами, на основании которых эту идею можно опознать и отгадать ее смысл. Среди исследователей средневековой литературы преобладает мнение о том, что указанный принцип загадки, так же как и сам метод наделения отвлеченных идей или неодушевленных предметов индивидуальными личностными признаками и характеристиками, связан с влиянием древних германских мифологических представлений на формирование средневековой латинской литературы. Если представители античной этики в лице Платона, Аристотеля, Плутарха или Цицерона были склонны рассматривать добродетели и пороки как проблему с точки зрения выявления их признаков их сущности, то для раннесредневековых писателей было характерно восприятие подобных идей и душевных качеств как одушевленных действующих лиц мироздания. Их присутствие в повседневной жизни нужно встретить и отгадать, а не понять при помощи логических умозаключений.

Примером подобного одушевленного отношения к идеям и предметам являются не только «Загадки» Бонифация: «Священная загадка» и «Загадки» Алкуина и прежде всего принадлежащий его перу «Спор весны и зимы» продолжали и развивали подобный жанр. В XI столетии Доницоне — автор стихотворного латинского жизнеописания маркграфини Матильды Тосканской — ввел в повествование целый диалог между двумя Тосканскими городами Мантуей и Каноссой, которые спорили между собой за право погребения маркграфа Бонифация — отца Матильды. Примечательно при этом, что города, которые вели между собой полемику в поэме Доницоне, активно использовали не только светские, но и сугубо церковные канонические аргументы:

Mantua respondet:

Ecclesia praesto ditata praesule recto Ac resonant plane cantus ibi presbyterales,

Reliquiae multa uenerantur ibi bene cultae.

7 «Я — Плодородный и сильный путеводитель самого горнего престола и вестник — глаголю, цветущий высшими добродетелями, ведь ношу лабарум народу Христову по миру, и живущие в соответствии с моей добродетелью по благоприятным законам посвящаются Христу и снимаются древние оковы» [1].

8 «Аггельский змей породил меня в вышине неба, дышащая ехидна и вредоносные преступления сердцу; я соблазнила многие тысячи людей при помощи зависти, свергая из высших царств в черный тартар» [1].

Canossa commota dicit:

Subiaceo tibi, nil quia nobilius mea sistit,

Nam mea sub papa, tua uero sub patriarcha Est mea Romana; tua constat Aquilegiana9.

Бонифаций писал свои «Загадки» в эпоху, которая не могла еще предложить никакой развитой поэтической системы, связанной с развитием народного языка. Как известно, lingua romana rustica — язык, упомянутый в деяниях Турского собора 813 г. и представленный «Страсбургской клятвой» 843 г., оставался в каролингскую эпоху языком бесписьменным. В то же время основным принципом латинской поэзии тогда стал принцип подражания. Как отмечает П. Зюмтор, рассуждая о более позднем периоде XI-XII вв., латинские поэты воспринимали генезис текста не как динамический процесс, а как правильное применение образцов. При этом основным признаком латинского средневекового стихосложения, формировавшегося в каролингскую эпоху, было измельчание периодов и фраз, объединенных сочинительной связью и множеством сравнительных соответствий. В связи с этим закономерен отмеченный П. Зюмтором «афористичный» характер большинства латинских поэтических произведений, напоминающих пословицы [4, с. 52-53] (или представляющих собой загадки). Указанная характеристика в полном смысле слова применима к «Загадкам» Бонифация. Определенная афористичность, как отчасти и метафоричность, была, впрочем, характерна в дальнейшем и для памятников средневековой поэзии, написанных на национальных языках. В частности уже провансальские баллады, альбы, секстины, ретроенсы и кансоны XI в. отличаются интенсивным ритмическим повторением строф, содержание которых, как правило, повторяется и нередко тяготеет к пословицам [5, p. 24, 28-32]. С другой стороны, средневековые старофранцузские лэ и поэмы, в частности ротруанж Ричарда I, романы Кретьена де Труа, или, наконец, октосиллабические поэмы Гийома де Машо, напротив, являют пример широкого использования синонимов и сравнений для раскрытия символического содержания сюжета [6, p. 5-22; 7, с. 129-130, 153-155]. При этом стихотворный размер данных произведений всецело основывается на ритмическом чередовании однотипных слогов, которые находятся под динамическим ударением. С этой точки зрения средневековая латинская поэзия в целом и поэзия каролингского возрождения в частности была глубоко архаизирующей, хотя на фоне произведений Вергилия, Овидия или Горация она, разумеется, таковой не являлась. Как отмечает П. Бурган, каролингские поэты стремились имитировать трохеические или ямбические стихи в условиях повсеместного господства в латинском языке силового динамического ударения [8, p. 13-26]. Подобная имитация была отчасти характерна еще для латинской христианской поэзии V столетия. В частности, писатель Коммодиан подражал древнему «гексаметру», теряя, однако, различия долгих и кратких слогов, в то время как Августин уже целиком строил свой «алфавитный псалом» на чередовании ударных и безударных слогов. Отмирание древнеримского

9 «Мантуя отвечает:

„Вот тут церковь, обогащенная правым предстоятелем,

И там ясно звучат пресвитерские песнопения,

Там почитаются многочисленные реликвии добрым благочестием“.

Раздражительная Каносса молвит:

„Я принадлежу тебе? Нет ничего, что было бы благороднее меня.

Ведь моя церковь находится под властью папы, а твоя под властью патриарха, известно, что моя церковь — церковь Римская, а твоя — Аквилейская“» [3, Coll. 984].

музыкального ударения и замена его динамическим произошли еще в V в. и были связаны с фонетическими процессами, закономерными для внутреннего развития латинского языка [9, с. 68-71; 10, с. 261-263]. По вышеуказанной причине для каролингских поэтов решающее значение приобретала частота ударения, заимствованная из произведений Вергилия или Овидия, которые, в свою очередь, читались без соблюдения просодии, диктуемой древним музыкальным ударением. Для каролингских поэтов главным условием создания стихотворного произведения было подражание классическому образцу, который, однако, чаще всего воспринимался при помощи декламации, определявшейся динамическим силовым ударением. Особенности, связанные с долготой и краткостью слогов, со структурой мор, были неведомы многим каролингским поэтам, несмотря на теоретическое знакомство их с сочинениями древнеримских грамматиков. Определяющее влияние на каролингскую поэзию оказывали литургические произведения отцов Церкви IV-V вв., прежде всего гимны Амвросия, Августина или монашеские бенедиктинские секвенции [8, p. 40-42.]. Именно поэтому Бонифаций формировал ритмический строй своих «Загадок» в соответствии с принципами «клаузул», предполагавших оперирование группами слогов, подобранных таким образом, чтобы конечное ударение строфы непременно падало на предпоследний слог завершающего строфу слова. Именно с этим обстоятельством связано обилие в «Загадках» таких стяженных форм, как: saecla вместо saecula, uincla вместо uincula

Лексический и морфологический анализ «Загадок» Бонифация свидетельствует о преобладающем влиянии латинских богослужебных текстов, прежде всего Вульгаты. Обилие грецизмов, такие выражения, как regna futura, Adam manducans dira, moderantur dogmata uitae, sedibus et superis soboles nempe architenentis, restaurant saecla redemptor, arbiter aethereus condit me, dum Christi populo per mundum labarum porto, regina et mater peccati, Xristicolas passim perdens per tetra uenena, с нашей точки зрения, свидетельствуют о насыщенности «Загадок» христианским нравственным смыслом — смыслом, почерпнутым из библейского понимания этики. В «Загадках» преобладают глагольные формы индикатива преимущественно во временах praesens historicum или imperfectum, хотя встречается и perfectum. Широко распространены причастные обороты с участием participium praesentis actiui. В то же время формы конъюнктива, сложноподчиненные предложения с конъюнктивными союзами dum или ut встречаются в тексте «Загадок» достаточно редко, а сложные синтаксические обороты, такие как accusatius cum infinitiuo или ablatiuus absolutus, практические не встречаются. Вышеуказанные особенности морфологии Бонифация лишь подтверждают результаты лексического анализа и закономерно свидетельствуют о том, что главной книгой в библиотеке писателя было именно священное писание в переводе блаженного Иеронима. В «Загадках», в частности, встречаются пять цитат из священного писания, а именно цитаты из Псалтири (Пс. 5, 10), Апокалипсиса (Ап. 21, 23; 22, 5), Послания апостола Павла к Эфесянам (Эф. 5, 18), I Послания апостола Павла к Тимофею (I Тм. 6, 10).

Однако наряду с Вульгатой, «Загадки» Бонифация были основаны в значительной степени на тех памятниках античной древнеримской литературы, с которыми майнцский архиепископ был знаком в совершенстве. Какие же это памятники?

Главным античным автором, вдохновлявшим стихотворные произведения Бонифация, был Вергилий. В «Загадках» часто встречаются обороты речи и скрытые цитаты из различных произведений великого древнеримского поэта. Всего в произведении Бонифация можно насчитать тринадцать подобных «вергилиевских» цитат. Прежде всего,

Бонифаций цитирует «Эклоги», рассуждая о плодах добродетели (Ecl. III, 21). Далее, автор «Сказок» приводит выражения из «Энеиды» в самом разном контексте (Aen. I, 278; I, 630; II, 268; III, 56; III, 621; V, 289; VI, 134-135; VI, 273; VI, 307; VI, 649;) и «Георгикона» (Georg. II, 458; IV, 476). Кроме кратких выдержек из Вергилия Бонифаций использует в «Загадках» слова из «Метамфорфоз» Овидия (Metaph. I, 150), а также из «Психомахии» Пруденция (Psychom. 161). На основании анализа вышеуказанных цитат следует сделать вывод о том, что Бонифаций был знаком благодаря библиотеке своего аббатства с произведениями древнеримских писателей классической и позднеримской эпохи. При этом отсутствие цитат из произведений Горация, Сенеки или Тертуллиана свидетельствует об ограниченном характере этого знакомства. В то же время архаическая древнеримская литература, например комедии Плавта или Терренция, по-видимому, вообще были неизвестны автору «Загадок».

Среди литературных памятников раннего средневековья, авторы которых являлись в той или иной степени современниками Бонифация, в «Загадках» были отражены лишь краткие фрагменты сочинений англосаксонского аббата Альдхельма Шербургско-го (в дальнейшем епископа). В частности Бонифаций цитировал такие сочинения Аль-дхельма, как «Загадка о творении» (Aenig. De creat. 31, 53), трактат «О восьми главных пороках» (De octo princ. vitiis 130, 140, 379-380), который в определенной степени вдохновил самого Бонифация на составление своих «Загадок».

Анализ источников произведения Бонифация позволяет сделать вывод о том, что автор «Загадок» ориентировался прежде всего на высокий стиль древнеримской эпической поэзии. Литературный стиль этой поэзии был для него лишь формой, которую апостол Германии наполнял христианским библейским содержанием. С нашей точки зрения, подобный метод позволяет говорить о «Загадках» Бонифация как о первом наиболее характерном поэтическом памятнике грядущего возрождения древнеримской литературы в новом христианском культурном контексте, которое традиционно именуется в историографии термином «каролингское возрождение».

Источники и литература

1. Vita S. Bonifatii C. II // Dummler E. Poetarum latinorum medii aevi. T. I-IV / Monumenta Ger-manica Historiae. Berolini, 1881. T. I. P. 1-2.

2. Sigeberti Gemblacensis Liber de scriptoribus ecclesiasticis. CXXI // Patrologiae cursus completus series Latina. 1852. Vol. 160. Lutetiae Parisiorum. Coll. 548-588.

3. Donizonis Vita Mathildis, I, 16 // Patrologiae cursus completus series Latina. 1850. Vol. 148. Lutetiae Parisiorum. Coll. 950-1036.

4. Зюмтор П. Опыт построения средневековой поэтики. СПб., 2003. 544 с.

5. Nelli R., Lavaud R. Les Troubadours II. Le tresor poetique de l’Occitanie. Paris, 2000. 1077 p.

6. Imbs P., Cerquiglini-Toulet J., Musso N. Guillaime de Machaut. Le Livre du voir dit. Paris, 1999. 789 p.

7. Шишмарев В. Ф. Книга для чтения по истории французского языка. IX-XV вв. М.; Л., 1955. 558 с.

8. Bourgain P. Poesie lyrique latine du Moyen Age. Paris, 2000. 353 p.

9. Тройский И. М. Историческая грамматика латинского языка. М., 2001. 575 с.

10. Тройский И. М. Очерки из истории латинского языка. М.; Л., 1953. 272 с.

Статья поступила в редакцию 25 января 2011 г.

«Две загадки» Фридриха Шиллера в переводе В. А. Жуковского

В статье впервые анализируются переводы загадок Ф. Шиллера, выполненные В.А. Жуковским в педагогических целях и оказавшие большое влияние на развитие жанра русской стихотворной загадки. Особенности структуры и формы этих произведений отражают поэтическую стратегию автора и вписываются в эволюцию русской лирики первой половины XIX в.

Собрание сочинений Шиллера в переводе русских писателей: в 4 т. / под ред. С.А. Венгерова. Т. 1. СПб., 1901. 476 с.

Лебедева О.Б. Жанровая система переводов В.А. Жуковского из Шиллера // Проблемы метода и жанра: сб. ст. Вып. 14. Томск, 1988. С. 71-82.

Ребеккини Дамиано. Перевод как инструмент образования в педагогической деятельности В.А. Жуковского (о сборнике «Муравейник 1831 года) // Русская литература. 2016. № 3. С. 20-27.

Schiller F. Parabeln und Ratseln // Schillers Samtliche Werke in zehn Banden. В.3. Leipzig, 1885. S. 234-239.

Жуковский В.А. Полное собрание сочинений и писем: в 20 т. Т. 2: Стихотворения 1815- 1852 годов. М.: Яз. рус. культуры, 2000. 839 с.

Мифы народов мира: энцикл.: в 2 т. Т. 1. М.: Сов. энцикл., 1991. 671 с.

Иллюстрированная полная популярная библейская энциклопедия: в 4 вып. М., 1892. Вып. 2. 189 с.

Ополовникова М.В. Особенности функционирования метафоры в немецкоязычной загадке // Вестн. Иванов. гос. ун-та. Гуманит. науки. 2012. № 1. С. 86-93.

Шиллер в переводе русских писателей: в 9 т. / под ред. Н.В. Гербеля. Лейпциг, 1863. 410 с.

Семененко H.H. Проблема описания функционально-категориального статуса загадок как паремического жанра // Изв. Рос. гос. ун-та им. А.И. Герцена. Обществ. и гуманит. науки. 2010. №126. С. 129-136.

Сможете ли вы решить головоломки Алкуина?

«Здесь начинаются проблемы, чтобы обострить молодых» — это начало замечательного текста, который, как считается, был написан каролингским ученым Алкуином Йоркским. Он представляет более пятидесяти математических головоломок, которые бросят вызов даже сегодняшним читателям. Вот пять наших любимых!

Пожалуй, самая известная из всех головоломок Алкуина — это загадка о переходе через реку:

Волк, коза и кучка капусты.

Человеку пришлось переправить через реку волка, козу и кучу капусты. Единственная лодка, которую он смог найти, могла принимать только две из них одновременно. Но ему было приказано все это передать другой стороне в хорошем состоянии. Как это могло быть сделано.

Как и в большинстве написанных им головоломок, Алкуин также дает вам ответ:

Решение. Я бы взял козу, а волка и капусту оставил. Затем я возвращался и переправлял волка.Положив волка на другую сторону, я взял бы козла обратно. Оставив это позади, я бы понес капусту. Затем я снова гребу и, подняв козу, снова брал ее на себя. Благодаря этой процедуре гребля будет здоровой, но без травм.

Эта головоломка воспроизводилась много раз, во многих вариациях. Например, вы можете найти много видео об этом, в том числе тот, который был показан на Каннском кинофестивале 1998 года:

В его книге Парадокс лжецов и башни Ханоя: десять величайших математических головоломок of All Time , Марсель Данези объясняет гениальность этой головоломки:

Она не только включена практически во все классические антологии головоломок, но и многие историки математики считают, что образец идеи, на которой она построена, является ключевым открытием. это привело столетия спустя к созданию раздела математики, известного как комбинаторика, которая занимается, в основном, структурой аранжировок.Он пытается определить, как вещи могут быть сгруппированы, подсчитаны или организованы каким-либо систематическим образом.

Вот еще четыре загадки Алкуина:

Базилика.

Базилика имеет длину 240 футов и ширину 120 футов. Он вымощен брусчаткой в ​​один фут 11 дюймов в длину и 12 дюймов в ширину. Сколько камней нужно?

Решение. Требуется 126 брусчатки, чтобы покрыть длину 240 футов, и 120, чтобы покрыть ширину 120 футов.Умножьте 120 на 126, и получится 15120. Это количество брусчатки, необходимое для мощения базилики.

Старик приветствует мальчика.

Старик поздоровался с мальчиком следующим образом: «Да проживешь ты долго — еще столько же, сколько ты прожил до сих пор, и снова столько, сколько тебе будет тогда, а затем до трехкратного возраста; и пусть Бог прибавит еще один год, и тебе будет 100 ». Сколько лет было мальчику в то время?

Решение. В то время ему было 8 лет и три месяца.То же самое будет 16 лет и 6 месяцев; вдвое, это 33 года, а умноженное на 3 дает 99 лет. К этому добавлено 100.

Настоятель с 12 монахами.

У аббата в монастыре было 12 монахов. Вызвав своего управляющего, он дал ему 204 яйца и приказал дать равные доли каждому монаху. Таким образом, он приказал дать 85 яиц 5 священникам, 68 — четырем дьяконам и 51 — трем читателям. Сколько яиц досталось каждому монаху, чтобы ни у одного не было слишком много или слишком мало яиц, но все получили равные части, как описано выше.

Решение. Возьмем 12-ю часть из 204. Эта 12-я часть равна 17, поэтому 204 — это двенадцать умноженное на 17 или семнадцать умноженное на 12. Точно так же, как восемьдесят пять равно пятью семнадцатью, шестьдесят восемь — четыре раза, а пятьдесят один — трижды. Теперь 5, 4 и 3 — 12. Есть 12 мужчин. Снова сложите 85, 68 и 51, что составляет 204. Всего 204 яйца. Таким образом, на каждую из них приходится 17 яиц как двенадцатая часть.

Королевская армия.

Царь приказал своему слуге собрать армию из 30 поместий таким образом, чтобы из каждого поместья он взял то же количество людей, которое он собрал до этого.Слуга пошел в первое поместье один; ко второму он пошел друг с другом; в следующий он взял с собой троих. Сколько было собрано из 30 усадеб?

Решение. После первой остановки было 2 человека; после второго 4; после третьего 8, после четвертого 16; после пятого 32; после шестого 64; после седьмого 128; после восьмого 256; после девятого 512; после десятого 1024; после одиннадцатого 2048 г .; после двенадцатого 4096 г .; после тринадцатого 8192 г .; после четырнадцатого 16384 г .; после пятнадцатого 32768; после шестнадцатого 65536; после семнадцатого 131072 г .; после восемнадцатого 262144; после девятнадцатого 524288; после двадцатого 1048576; после двадцать первого 2097152; после двадцать второго 4194304; после двадцать третьего 8388608; после двадцать четвертого 16777216; после двадцать пятого 33554432; после двадцать шестого 67108864; после двадцать седьмого 134217728; после двадцать восьмого 268435456; после двадцать девятого 536870912; после тридцатого 1073741824.

Английский перевод всей работы Алкуина был сделан Джоном Хэдли и Дэвидом Сингмастером как часть статьи «Проблемы, чтобы заострить молодых» в The Mathematical Gazette , Vol. 76, No. 475 (1992)

См. Также статью Марселя Дансея Загадки о переходе через реки и здравый смысл Алкуина

Загадки Алкуина о переходе через реки и здравый смысл

В качестве списка головоломок я часто подчеркиваю, что многие головоломки решаются просто с помощью здравого смысла или того, что американский философ-прагматик Чарльз С. Пирс (1839-1914) назвал «практической логикой».«Когда мы понимаем, как делать определенные вещи практически, без каких-либо объяснений или показа, как это делать, мы используем эту форму логики. Вот классическая головоломка, которая раскрывает силу этого типа инстинктивного мышления:

На берег реки приходит путник с волком, козой и кочаном. К своему удовольствию, он видит там лодку, которую он может использовать для перехода на другой берег, но, к своему ужасу, он замечает, что она может нести не более двух — конечно же, самого путешественника и только одного из двух животных. или капуста.Как известно путешественнику, если его оставить вдвоем, коза съест капусту, а волк — козу. Волк не ест капусту. Как путешественник перевезет своих животных и капусту на другую сторону в целости и сохранности за минимальное количество поездок туда и обратно?

Попробуйте решить эту проблему, прежде чем читать дальше. Между прочим, за прошедшие годы я заметил, что люди, которые никогда не сталкивались с этой головоломкой, обычно реагируют на нее в первый раз двумя способами: (1) они чувствуют, что каким-то образом знали ее всю свою жизнь (что указывает на то, что ее структура является архетипической. ?), и (2) они получают удовольствие от того факта, что они могут решить эту проблему с помощью только «здравого смысла».
Путешественник не может начать с волка, так как это оставит козу наедине с капустой, и коза ее съест. Это ключевой момент в решении головоломки. Итак, практически говоря, путешественник может начать только с того, что уведет козу с собой на лодке на другую сторону, оставив волка в целости и сохранности с капустой на исходной стороне. Оставив козу на другом берегу, он гребет обратно один. В целом, это его первая поездка туда и обратно. Вернувшись на исходную сторону, он берет волка и гребет с ним на другую сторону, оставляя капусту сама по себе.Достигнув другого берега, он бросает волка, но гребет обратно с козой, так что волк не может съесть козу на обед. Опять же, это решение, очевидно, является частью здравого смысла. Это вторая поездка путешественника туда и обратно. Вернувшись на исходную сторону, он оставляет козу там, забирая капусту с собой на лодке. Когда он добирается до другого берега, он сбрасывает капусту, оставив волка и капусту вместе, пока он гребет один. Это его третья поездка туда и обратно. Затем он берет козу с исходной стороны и гребет с ней поперек.Когда он доберется до другого берега, его волк, коза и капуста останутся нетронутыми, и он сможет продолжить свое путешествие.

Есть второе решение, которое, тем не менее, начинается таким же образом. Разница в том, что путешественник забирает капусту вместо волка в начале второго кругового обхода. Конечный результат — то же самое — три поездки туда и обратно (или всего семь возвратов и обратно). Как можно видеть, эта головоломка раскрывает силу практической логики, позволяющую минимизировать и даже исключить метод проб и ошибок.На мой взгляд, это когнитивная основа того, что мы называем здравым смыслом.

Эта головоломка является одной из трех, называемых «головоломками о переходе через реку», первоначально разработанных известным английским ученым и церковным деятелем Алкуином (735-804 гг. Н. Э.), Который в 782 году стал советником императора Священной Римской империи Карла Великого. считал, что Карл Великий настолько увлекся головоломками, что нанял Алкуина в первую очередь для того, чтобы создавать их для своего удовольствия. Гениальный Алкуин собрал свои головоломки в учебное пособие для юных студентов под названием «Propositiones ad acuendos juvenes» («Проблемы, позволяющие обострить молодых»).Некоторые издания текста содержат 53 загадки, другие 56. Он был переведен на английский Джоном Хэдли и снабжен комментариями Дэвида Сингмастера. Перевод был опубликован в томе 76 (стр. 102-126) The Mathematics Gazette в 1992 году.
Вышеупомянутая головоломка на самом деле является перефразированием числа 18 в руководстве Алкуина. Вот вам другая версия этой головоломки. Опять же, хотя и более сложный, его можно решить, просто применив к нему здравый смысл.

Путешественник доходит до того же берега на той же лодке.Вместе с ним — его волк, коза, кочан капусты и на этот раз мифическое чудовище по имени Волкопоед. Волчонок ест только волков. Более того, когда волкопоед присутствует с обеих сторон, он запугивает козу, которая, таким образом, не ест капусту. Как путешественнику безопасно их перебросить?

Номера 17 и 19 завершают набор головоломок Алкуина о пересечении рек. Четвертый (номер 20) также связан с переправой через реку, но дошел до нас в неполном виде.Номер 17 — это примерно трое мужчин, у каждого из которых есть незамужняя сестра, которые хотят пересечь реку на двухместной лодке, причем каждый мужчина «желает сестры своего друга». У загадки есть очевидный, хотя и бессознательный, сексистский подтекст (учитывая историческую эпоху, в которую она была задумана). Несмотря на это, загадка снова показывает, что такое здравый смысл. Вот перефразирование головоломки.

Трое мужчин, каждый в сопровождении своей незамужней сестры, подходят к берегу реки.Маленькая лодка, которая их переправит, может вместить только двух человек. Во избежание любых компромиссных ситуаций переходы должны быть устроены таким образом, чтобы ни одна сестра не оставалась наедине с мужчиной — в лодке или с обеих сторон, — если ее брат не присутствует. Сколько требуется переходов, если гребцом может быть любой мужчина или женщина?

Известная более поздняя версия этой головоломки известна как загадка миссионеров и каннибалов. Сможете ли вы решить следующий парафраз?

Трое миссионеров и трое людоедов должны перейти реку.Ни на одном из берегов людоедов не может быть больше, чем миссионеров, так как это нечетное число приведет к съедению одного из миссионеров. Как они переправятся на лодке, вмещающей только две, если лодкой может управлять миссионер или каннибал?

Номер 19 в антологии Алкуина немного отличается по составу, но для его решения тоже требуется такой же здравый смысл. Следующее — это снова пересказ исходной головоломки.

Мужчина и женщина с одинаковым весом вместе с двумя детьми, каждый из которых вдвое меньше веса взрослого, приходят на один берег реки и в одну лодку.Лодка может перевозить двух человек, но может выдержать максимальный вес одного взрослого человека, иначе она утонет. Как они передаются?

Более сложные версии головоломок о переходе через реки, включающие различные комбинации людей, животных и продуктов питания, дошли до нас на протяжении веков со всего мира, что свидетельствует о всеобщем увлечении этой формой архетипического логического мышления (как ее можно назвать) . Неясно, предшествовала ли какая-либо из этих головоломок Алкуину.По этой причине последние до сих пор считаются первыми в своем роде. Кстати, далеко не все головоломки, связанные с переходом через реки, оказываются решаемыми. Например, составители головоломок Сэм Лойд (1841-1911) и Генри Э. Дудени (1847-1930) обнаружили, что невозможно прийти к решению, касающемуся четырех братьев и их незамужних сестер (или, что эквивалентно, четырех ревнивых мужей и их жен). Решение возможно только в том случае, если есть остров посреди ручья для использования в качестве транзитной остановки.

На самом деле, головоломки о переходе через реки превратились в нечто большее, чем просто упражнения или примеры здравого смысла. Многие историки-математики прослеживают концептуальные корни комбинаторики к загадке Алкуина о пересечении рек. И в этих простых, но интригующих парадигматических головоломках легко распознать корни современного системного анализа, основанного на критической логике принятия решений.

ответы

Есть несколько способов решить загадку Wolf-Eater, каждый из которых состоит из четырех круговых обходов (всего девять индивидуальных возвратно-поступательных поездок).Вот один.

1. Путешественник должен начать с того, что уведет волка с собой на другую сторону, оставив Волкоеда с козой и капустой на исходной стороне. Присутствие волкоеда гарантирует, что коза не будет есть капусту.
2. Достигнув другого берега, путник бросает там волка и гребет обратно один. Это его первая поездка туда и обратно.
3. Вернувшись на исходную сторону, он собирает капусту, оставив там волка-пожирателя и козу наедине, и гребет вместе с ней на другую сторону.
4. Оказавшись там, он благополучно оставляет капусту вместе с волком и затем гребет обратно один. Это его вторая поездка туда и обратно.
5. На исходной стороне он поднимает Волкоеда, оставив там козла одну, гребя с монстром на другой берег.
6. Добравшись до него, он высаживается из Пожирателя Волка, но забирает волка для обратного путешествия (чтобы Пожиратель Волка не ел волка), оставляя Пожирателя Волка наедине с капустой. Это его третья поездка туда и обратно.
7. Достигнув исходной стороны, путник бросает там волка и берет козу для путешествия.
8. Дойдя до другой стороны, он благополучно оставляет козу вместе с Волкоедом и капустой, которые уже там. Присутствие волкоеда гарантирует, что коза не будет есть капусту. Он гребет один. Это его четвертая поездка туда и обратно.
9. Вернувшись на исходную сторону, путник берет волка, гребет с ним на другую сторону. Он сходит с лодки вместе с волком и вместе со всеми четверыми продолжает свое путешествие.

Четыре цикла туда и обратно (девять индивидуальных) также необходимы для решения числа Алкуина 17.Возможны незначительные изменения в приведенном ниже решении.

1. Одна пара брата и сестры гребет первой, оставив две другие пары брат и сестра в безопасности на исходной стороне.
2. Брата высаживают на другой берег, а его сестра возвращается одна на лодке. Это первый рейс туда и обратно.
3. Вернувшись на исходную сторону, сестра берет вторую сестру и гребет вместе с ней на другую сторону. Оставшаяся сестра на исходной стороне, конечно же, в безопасности, потому что ее брат все еще с ней.
4. Однажды на другой стороне первая сестра позволяет себе остаться со своим братом, который уже там. Вторая сестра гребет одна. На этом второй круговой рейс завершен.
5. Когда вторая сестра переходит на исходную сторону, она берет своего брата и гребет с ним на другую сторону.
6. С той стороны она бросает своего брата и гребет обратно одна. Поскольку первая пара брата и сестры уже существует, из-за присутствия второго брата проблем не возникает. Это третья поездка туда и обратно.
7. Когда вторая сестра возвращается на исходную сторону, она берет третью сестру и гребет с ней на другой берег, оставляя своего брата одного на исходной стороне.
8. Как только они добираются до другого берега, вторая сестра уезжает, чтобы остаться со своим братом, который уже там. На другой стороне теперь две пары братьев и сестер. Третья сестра в одиночестве гребет обратно на исходную сторону. Это четвертый рейс туда и обратно.
9. Вернувшись на исходную сторону, сестра берет своего брата и гребет с ним, чтобы присоединиться к остальным.

Решение загадки миссионеров и каннибалов также дает тот же результат — четыре поездки туда и обратно (девять индивидуальных поездок туда и обратно). Опять же, есть и другие небольшие вариации рисунка. В этой версии один из каннибалов — гребец для всех возвратно-поступательных поездок.

1. Два каннибала начинают это с того, что вместе гребут на другую сторону.
2. Один сбрасывается с другой стороны, а другой возвращается один. Это первый рейс туда и обратно.
3. На исходной стороне гребец-людоед берет миссионера и гребет с ним на другую сторону.Из этого не возникает никакой опасности, потому что миссионер находится вместе с гребцом-людоедом на лодке, в то время как на исходной стороне находятся два миссионера и один людоед. Таким образом, в этом сценарии численность каннибалов не превышает численности миссионеров.
4. Как только они достигают другой стороны, людоед спускается с миссионера и гребет обратно один. Опять же, из этого не возникает опасности, так как на другом берегу один миссионер и только один каннибал. На этом второй круговой рейс завершен.
5. Вернувшись на исходную сторону, каннибал берет второго миссионера и гребет с ним на другую сторону. В этом сценарии по обе стороны и на лодке есть пара миссионер-каннибал. Так что опять-таки никакой опасности из этого не возникает.
6. На другом берегу людоед высыпает со второго миссионера и гребет обратно один. Теперь на другом берегу находятся два миссионера с одним каннибалом, а на исходной стороне их ждут миссионер и каннибал. На этом завершается третий круговой обход.
7. Когда гребец-людоед возвращается на исходную сторону, он берет последнего миссионера и гребет с ним на другой берег. Конечно, от этого не будет никакой опасности.
8. Оказавшись там, он отвозит миссионера. Теперь на другой стороне трое миссионеров и один каннибал. Итак, каннибал гребет назад, чтобы схватить его. На этом завершается четвертый круговой обход.
9. Вернувшись на исходную сторону, гребец-людоед берет последнего каннибала и гребет с ним на другой берег, чтобы присоединиться к остальным.

Решение головоломки для взрослых и детей также дает тот же узор с вариациями. Вот одно конкретное решение.

1. Двое детей начинают его с того, что вместе гребут на другую сторону. Лодка, конечно, может выдержать оба их веса, потому что они составляют вес одного взрослого человека.
2. Один ребенок остается с другой стороны, а другой возвращается один. На этом первый круговой рейс завершен.
3. На исходной стороне гребец выходит из лодки, а один из взрослых садится в лодку и в одиночестве переходит на другую сторону.Лодка может выдержать максимум веса взрослого человека.
4. Оказавшись на другой стороне, взрослый выходит, а ребенок, который уже был там, садится в лодку и гребет обратно один. На этом второй круговой рейс завершен.
5. Вернувшись на исходную сторону, ребенок берет другого ребенка, ожидающего там, и вместе они гребут на другую сторону.
6. Оказавшись на той стороне, один из детей выходит, а другой гребет обратно один. Теперь на другой стороне находятся взрослый и ребенок, а на исходной стороне их ждет один взрослый.На этом завершается третий круговой обход.
7. Когда ребенок-гребец переходит на исходную сторону, ребенок падает, и теперь второй взрослый может сесть в лодку и безопасно грести до другого берега.
8. Оказавшись там, взрослый уходит, чтобы присоединиться к другому взрослому, уже находящемуся там. Ребенок, который также находится там, садится в лодку и гребет, чтобы забрать ребенка, который ждет на исходной стороне. На этом завершается четвертый круговой обход.
9. Как только ребенок-гребец достигает исходной стороны, другой ребенок садится в лодку вместе с гребцом, чтобы перейти и присоединиться к взрослым.

Для технических обсуждений головоломок о переходе через реки заинтересованный читатель должен обратиться к: Бенджамин Л. Шварц, «Аналитический метод решения сложных задач перехода», Mathematics Magazine 34 (1961), стр. 187-193; Ян Прессман и Дэвид Сингмастер, «Ревнивые мужья, миссионеры и каннибалы», The Mathematical Gazette 73 (1989), стр. 73-81; и Иварс Петерсон, «Хитрые переходы», Science News, 164 (2003).

Загадки о переходе через реки на протяжении веков

, Jeroen Bouterse

Вы когда-нибудь были в такой ситуации, когда вам нужно было переправить через реку группу из трех человек и их сестер, но лодка вмещала только двоих, а вы имели принять меры предосторожности, чтобы женщины не подверглись нападению?

Эта задача — одна из 53 головоломок в старейшем из сохранившихся сборников головоломок в западной (латинской) традиции: Propositiones ad acuendos iuventes или задач, чтобы отточить молодых .Его авторство не известно, но его часто и правдоподобно приписывают Алкуину, который, возможно, отправил их франкскому правителю Карлу Великому в 800 году нашей эры. [1] Я надеюсь, что вы позволите мне кратко представить эти головоломки, прежде чем я перейду к тому, что, я надеюсь, к тому времени окажется излишним, а именно к объяснению того, почему я думаю, что вы должны быть взволнованы их существованием.

Слизни и голуби

Головоломки Алкуина разнообразны, но головоломки одного типа часто встречаются более одного раза. Например, некоторые просят нас вычислить число на основе его кратного числа, представленного в несколько запутанной манере: человек видит определенное количество лошадей и желает, чтобы у него было это число, затем снова это число, а затем четверть. более того, так как тогда у него будет сотня лошадей (головоломка 4).Существуют вопросы, которые эффективно задают вопрос, как часто данная область вписывается в другую данную область, как предметы могут быть распределены в дискретных количествах при определенных условиях или сколько времени потребуется одному животному, чтобы догнать другое или преодолеть заданное расстояние. В первой головоломке, например, пиявка приглашает слизнюка на обед, чтобы мы поняли, что бедному существу потребуются столетия, чтобы добраться до места назначения.

В головоломке 42 ученик должен сложить все числа от 1 до 100.Или, если быть более точным, вычислить количество голубей на лестнице из 100 ступенек, где на первой ступеньке сидит один голубь, а на каждой следующей ступеньке на одного голубя больше, чем на предыдущей. Что, по общему признанию, намного интереснее, чем просто сложение чисел. Алкуин решает эту проблему, выполняя пары шагов, которые вместе содержат 100 голубей (например, первый шаг 99 ^{и шаг} ). Это дает 49 пар, а шаги 50 и 100 остаются неиспользованными, так что сумма составляет 4900 + 150 = 5050. [2]

Контексты вопросов варьируются от фантастических — как с пиявкой и слизнем — до мирских, например, в вопросе о том, как 204 яйца могут быть равномерно распределены среди группы монахов.Контекст иногда «богаче», чем того требует решение — например, в вопросе о раздаче яиц мы слышим, что пять священников получают 85 яиц, четыре дьякона получают 68, а три читателя получают 51. Конечно, это гораздо больше информации, чем нам нужно. [3]

Три головоломки относятся к жанру перехода через реки. [4] Один из них (17) — с тремя мужчинами и их сестрами. Другой (19) связан с очень тяжелыми мужчиной и женщиной (каждый весит с загруженную тележку) и их двумя детьми, стремящимися перебраться через реку на лодке, которая может удержать только одного из взрослых или обоих детей.Третий (18), скорее всего, вам знаком: текст Алкуина содержит первый известный пример самой известной загадки о переходе через реку. Да, вот этот. Тот, где вы отвечаете за волка, козу и капусту, и вам нужно переправить их через реку в лодке, которая держит только вас и одного из них, стараясь никогда не оставлять козла без присмотра ни с волком, ни с волком. капуста. Может быть, вы думали об этом с того момента, как начали читать эту статью.

От этих загадок в коллекции 8 ^-го -го века у меня мурашки по коже.Я знал о существовании досовременных сборников математических головоломок, и у меня не было причин удивляться тому, что некоторые из самых канонических загадок уходят далеко в прошлое — почему бы и нет? Тем не менее, я косвенно связываю этот жанр с исторически недавней «культурой компьютерных фанатов», которая упивается формализацией тривиальных ситуаций и превращением их в абстрактные головоломки. Веб-комикс XKCD, например, обращается к загадке волка и козла, чтобы усилить шутку о логистике назначения определенных водителей в группу.Признание того, что одна и та же головоломка (или «точилка») завладела вниманием и воображением ученого 8 ^-го -го века, простите за пафос, как напоминание об общем человечестве: всеобщий аппетит к головоломкам, который, по-видимому, настолько распространен. что этот мем мог существовать веками в устных и письменных традициях.

Размер лодки тогда и сейчас

Конечно, хотя сходство между представлением головоломки Алкуином и ее типичной современной версией примечательно, есть интересные различия.Небольшая проблема в том, что версия Алкуина включает не одну капусту, а несколько кочанов. Немного менее элегантный и экономичный, это кажется мне более реалистичным: не думаете ли вы, что если бы вы оказались в ситуации с одной капустой, вы нашли бы место в лодке для этой еще одной капусты? Алкуин разумно прерывает эту реакцию, обрушивая на нас достаточно большое количество капусты — я предполагаю, небольшую лодку.

Более существенное отличие состоит в том, что здесь, как и в других загадках, Алкуин не разъясняет правила игры.Он предполагает, что у нас есть здравый смысл, чтобы не оставлять волка наедине с козой или козу с капустой (не говоря уже о кучке капусты). Менее тривиально, в загадке 17 он, кажется, считает само собой разумеющимся, что женщина защищена от нападения, когда присутствует ее брат, но что присутствие других женщин не имеет значения. Об этом нигде не говорится вслух, но заявленное решение загадки проясняет его предположение.

Алкуин может осознавать, что некоторые из его ситуаций являются прокси к более абстрактным проблемам — его голуби совершенно ясно обозначают числа, — но его подход редко поощряет дальнейшее абстрагирование и обобщение.Если он вообще предлагает метод, а не просто решение, это обычно разовая уловка.

Напротив, современные интерпретации математических и логических головоломок обычно более четко описывают их формальную структуру: быстрый поиск в Google подтверждает, что веб-сайты, представляющие головоломку «волк-коза-капуста», расскажут своим читателям , когда волк съест козел. Кроме того, математики разделили головоломки о пересечении рек на теоретико-графовые и алгебраические структуры, изучая обобщенные версии на предмет их формальных свойств и доказывая свои результаты.

Однако эта тенденция к обобщению возникла не только недавно. Раффаэлла Франци, ученый, проследивший загадку Алкуина о мужчинах и сестрах в позднем средневековье (пары мужчина-женщина тогда обычно были мужьями и женами), отмечает нескольких итальянских авторов 16-го века, которые думают об обобщении числа пары. Обычно они настаивают на использовании лодки побольше. [5] Никколо Тарталья в своей книге General trattato предлагает решение для четырех пар в лодке, вмещающей всего двух человек, но это зависит от ослабления «состояния ревности»: оно предполагает, что на кратчайшие моменты женщина находится в непосредственной близости от другой мужчина без мужа.Она немедленно возвращается, но Франци сухо замечает, что вред нанесен: «авторы с более пессимистическим отношением к человеческой природе не допускают такой ситуации, и поэтому такое решение было сочтено неправильным» [6].

Леопарды и тигры

Тарталья также описывает загадку с волком, козой и капустой. Я уже отмечал свое (неоправданное, но не менее искреннее) удивление по поводу того, насколько очевидно исторически распространена загадка волк-коза-капуста.Фактически, упомянутые мною до сих пор латинские и итальянские тексты едва ли поверхностны. Структура проблемы настолько обычна, что авторитетная школа фольклористов присвоила ей порядковый номер в классификации международных сказок: ее можно найти в томе II книги Ханса-Йорга Утера Типы международных сказок , как тип (или Индексный номер ATU, названный в честь Утера и его предшественников) 1579: «Перевозка волка, козы и капусты через ручей» [7]. Вместо волка мы можем заменить льва или шакала, а капусту можно обменять на пучок сена или тыкву.Утер перечисляет десятки вариантов сцены, в основном из Европы и Африки, но также из китайских или майянских источников. Есть соответствующая запись «ATU1579 **», которая охватывает вычислительные головоломки, такие как головоломка Алкуина 4 ^th (упомянутая выше).

Этот фольклористский подход предлагает другую точку зрения на переправу через реку или другие логические или математические загадки — как пример не математического или логического интереса как такового, а рассказов с участием умных людей, имеющих, возможно, меньше общего с математикой средней школы, чем с математикой средней школы. рассказы о том, как путешественникам удается обмануть огров и дьяволов, и сказками.

Конечно, это также поднимает вопросы влияния или независимого изобретения. В статье 1990 года, посвященной африканским загадочным головоломкам, Марсия Ашер утверждает, что различия в логической структуре должны считаться свидетельством независимости: несколько африканских версий пересечения загадок — это не просто загадка Алкуина с тигром, овцой и большой россыпью тростника. (хотя они тоже существуют), но другая загадка с формально другими ограничениями. [8] Вариант головоломки на суахили включает в себя ситуацию, когда два из трех существ (леопард, коза и листья деревьев, которые должны быть доставлены сыну султана) могут быть перемещены одновременно, но ни одно из них не может быть оставлено наедине с другим. .

Это требует такого же нестандартного мышления, как и европейский вариант: вам придется забрать одно из существ из первого путешествия, хотя теперь не имеет значения, какое именно. Именно такая сообразительность, кажется, является общим знаменателем всех этих головоломок. Не интерес к абстрактным свойствам, лежащим в основе их решений, а постоянный интерес к любым загадкам, упражнениям и анекдотам, которые воплощают остроумие и интеллект и помогают «обострить» ум, что, как вы считаете, помните, это то, что, по словам Алкуина, ему нужно.Может быть, поэтому время от времени мы будем сталкиваться с загадкой, решение которой на мой вкус: слишком мило. В головоломке 14 Алкуин просит нас вычислить количество следов, которые оставляет на поле вспаханный бык в конце дня, и сообщает нам, что, поскольку вол предшествует плугу , его следы не останутся в поле. поле. (Уф.)

Даже такие противоречащие правилам решения иногда могут быть восхитительными, однако, как в одном из примеров Ашера:

«Еще одна африканская версия проблемы встречается только среди ила (Замбия) […].Поразительное отличие состоит в том, что для перевозки требуется четыре предмета: леопард, коза, крыса и корзина с кукурузой. Лодка может вместить только человека и одного из них. Эта проблема иллюстрирует взаимосвязь культуры и логических ограничений. Подумав о том, чтобы оставить крысу или леопарда (и таким образом свести проблему к той, которая может быть решена логически), мужчина решает, что, поскольку оба животного для него в детстве, он откажется от перехода через реку и останется там, где он есть! » [9]

Это, безусловно, лучшее из обоих миров: он признает проблему близкой к решаемой, но пристально и критически смотрит на ограничения решения.

В некоторых решениях загадок о переходе через реки, таким образом, удается объединить абстракцию и здравого смысла. Что ж, XKCD никогда не подводит нас и в этом отношении. Я закончу его взглядом на головоломку: [10]

[1] «Проблемы, чтобы заострить молодых», пер. Джон Хэдли, комм. Дэвид Сингмастер и Джон Хэдли, Mathematical Gazette 76: 1992, 102-126: p. 103.

[2] Это немного более бессистемно, чем метод, увековеченный анекдотом о молодом Гауссе (который просто взял половину числа членов ряда и умножил его на сумму первого и последнего членов — метод, также известный до времен Алкуина, например, индийскому математику Арьябате, индийскому математику 5 ^-го -6 ^-го -го века).См. Соответствующую часть английского перевода его Aryabhatiya : https://archive.org/stream/The_Aryabhatiya_of_Aryabhata_Clark_1930#page/n63/mode/2up).

[3] Согласно медиевисту Рутгеру Крамеру, текст пытается донести мысль о том, что в монастыре все должны быть равны. «Ecce fabula!». Числовое решение проблем в мире Каролингов: пример предложений ad Acuendos Iuvenes » Труды студенческой конференции MEMSA 2015 , 2015, 15-40: стр.33.

[4] Собственно, есть четвертый (20), но текст в нем дефектный.

[5] Рафаэлла Франци, «Ревнивые мужья, переходящие реку: проблема от Алкуина до Тартальи» в: Ивонн Долд-Самплониус, Дозеф В. Добен, Менсо Фолкертс, изд. Бенно ван Далена, Из Китая в Париж: 2000 Лет передачи математических идей . Франц Штайнер Верлаг: Штутгарт 2002, стр. 289-306: с. 295-296.

[6] Там же, с. 299.

[7] Ханс-Йорг Утер, Типы международных сказок: классификация и библиография, основанные на системе Антти Аарне и Стита Томпсона. Хельсинки: Academia Scientiarum Fennica 2004. стр. 318. Пирет Вулэйд, «Переправа через ручей волка, козы и капусты. Метаморфозы ATU 1579 ’, Folklore: Electronic Journal of Folklore 35: 2007, 111–130. п. 114-115 содержит изображение головоломки 19 Алкуина, которая также классифицируется как принадлежащая к типу ATU 1579.

[8] Марсия Ашер, «Проблема перехода через реки в кросс-культурной перспективе», Mathematics Magazine 63: 1990, 26-29.

[9] Ascher, p.28.

[10] https://xkcd.com/1134/

Приз за решение головоломки Карла Великого

Вы могли подумать, что основание Священной Римской Империи будет достаточно сложной задачей для одного человека, но Карл Великий хотел большего: решать математические головоломки! Если у вас такие же амбиции, вы можете выиграть приз здесь в лаборатории.

Император нанял Алкуина, известного английского ученого восьмого века, чтобы он составил сборник головоломок.Книга под названием «Проблемы заострения молодежи» была предназначена для молодежи того времени. больше интересуется математикой (очевидно, что это вечная проблема). Две головоломки Алкуина включены в новый сборник «Полная тренировка мозга», составленный Марселем Данези, профессором антропологии Университета Торонто и экспертом по головоломкам. Одна из них — головоломка о переходе через реку, которая была найдена в других коллекциях и культурах. но докторДанези говорит, что версия Alcuin, возможно, является самой старой из известных версий:

Путешественник подходит к берегу реки с волком, козой и кочаном. К своему огорчению, он отмечает, что для перехода существует только одна лодка, на которой могут перевозиться не более двух пассажиров — путешественник. и либо одно из двух животных, либо капусту. Как известно путешественнику, если его оставить вдвоем, коза съест капусту, а волк — козу.Волк не ест капусту. Как путешественник перевезти его животных и его капусту на другую сторону в целости и сохранности за минимальное количество поездок туда и обратно?

Как только вы решите эту проблему, доктор Данези предлагает то, что он называет современной классикой, разработанной Борисом Кордемским:

Отряд солдат должен перейти реку.Мост сломан, река полноводна. Старший офицер замечает двух мальчиков, играющих в лодке на берегу. Однако лодка настолько крошечная, что в ней может поместиться только два мальчика или один солдат. Все солдаты преуспеть в переправе через реку на лодке. Как?

Вы отправляете ответы на обе головоломки в качестве комментариев к этому сообщению и можете предложить читателям Лаборатории еще одну головоломку.Если вы сделаете и то и другое правильно и примете новую интригующую задачу, вы выиграйте приз за книгу доктора Данези «Полная тренировка мозга», в которой есть 450 головоломок, предназначенных для стимуляции различных частей мозга.

[ОБНОВЛЕНИЕ: Если вы отправляете новую головоломку, не включайте ответ в комментарий — вы можете отправить его мне по электронной почте отдельно ([email protected]). Мы уже получили новые интригующие головоломки среди комментариев.Вы можете попробовать их и опубликовать ответы, а также проголосовать за любого из избранных. И, внимание, спойлер: в комментариях вы найдете много правильных ответов на вопрос Dr. Две загадки Данези. ]

Альдхельм, Алкуин и новое открытие латинской меры

Примечание переводчика

Рабан Мор (слева) при поддержке Алкуина (в центре) посвящает свою работу архиепископу Отгару из Майнца (справа)
Каролингский манускрипт
manuscriptum Fuldense ca.831/40, Österreichische Nationalbibliothek Wien

Эти два латинских стихотворения похожи на простейшие размышления о природе — буря, птица. Глядя на расстояние между датами их авторов, Альдхельма (639–709) и Алкуина (735–804), мы можем предположить, что мир раннего средневековья был статичным и простым, мало изменившимся за сто лет. Глядя на стихи, можно предположить, что жизнь этих авторов была буколической. Ни одно из предположений не соответствует действительности. Оба мужчины вели занятую, цивилизованную и политически активную жизнь, и оба мужчины использовали свое церковное положение для работы для дела, которое их страстно разбудило: помогая заново открыть для себя латинский язык, поэзию его классического периода и то, как поэзия предполагалась. звучать.

Насколько нам известно, Альдхельм был первым англосаксом, написавшим стихи на латинском языке. Строки, которые я перевел здесь, из Carmen Rhythmicum , написаны акцентно-слоговым стихом. Это был тип латинской поэзии, который стал наиболее распространенным к шестому веку, потому что гласные в разговорной латыни утратили различие между долгим и коротким, которое было основой классической просодии. (Акцентно-слоговой метр — это метр, который лучше всего знают носители английского языка, метр поэтов от Чосера до современных формалистов.) Альдхельму нравилась такая поэзия — полное стихотворение довольно длинное — и, по словам Уильяма Малмсберийского, он также писал стихи и песни на древнеанглийском языке, которые, вероятно, были в аллитерационных стихах, хотя ни один из них до нас не дошел. .

… Я предпочитаю думать, что для обоих поэтов то, что они сочинили, было сочетанием обучения и жизни, и что древняя поэзия побуждает людей учиться именно потому, что они открывают в ней универсальность своих собственных истинных чувств.

Он также провел много времени, обучая власть имущих метрической работе классических латинских гекзаметров. Он хотел, чтобы его ученики восстановили контакт с своего рода поэтической мерой, которую люди разучились слышать. Чтобы преподать старую форму, он составил сотню загадок латинскими гекзаметрами на основе Aenigmata Симфосиуса и вставил их в качестве примеров в свое длинное письмо королю Нортумбрии Олдфриту. Любовь к загадкам — явная черта англосаксонской культуры, поэтому англичаность Альдхельма повлияла на его латынь.

Его обучение преуспело, и жизнь и работа Алкуина показывают нам этот успех. Именно Алкуин принес ко двору Карла Великого знания латинской культуры, которые он приобрел в англосаксонской Англии, поэтому большинство из нас сначала слышит о нем как о главном архитекторе Каролингского Возрождения.

Чтобы понять, с чем он столкнулся, мы должны представить себе мир, в котором все писали то, что казалось латынью, но произносили это таким образом, который заметно отличался от места к месту.Например, viridiarium , «фруктовый сад», обычно произносится как vair-jair в одной местной разновидности романского языка, но не в северной Франции. Алкуин стремился научить всех одинаково произносить латынь, и он написал: «Тот, кто не следует за мной, хочет говорить без закона!» Его распорядок сохранил латинское обучение на последующие века, хотя и создавал проблемы в то время: церковные соборы должны были предписывать проповедникам повторять свои проповеди на языке, понятном мирянам.

Значит, творчество этих поэтов — так сосредоточенных на языке, мере и грамматике — отражало вообще то, что было в их сердцах? Было ли это просто возвращением к классическим моделям? Классические материалы, безусловно, есть, заимствования из мифа, включение языческих идей в христианское мировоззрение. Но я предпочитаю думать, что для обоих поэтов то, что они сочинили, было сочетанием обучения и жизни. Древняя поэзия вдохновляет людей учиться именно потому, что они открывают в ней универсальность своих истинных чувств.

Riddle Ages

Riddle 85 рассказывает историю, которую мы все хорошо знаем: рыба не может выжить без воды. Думаю, об этом даже может быть поговорка…

Вот хороший карповый лещ через Wikimedia Commons (общественное достояние)

Эта загадочная тема встречается по всему миру и во многих различных исторических контекстах, поэтому мы можем быть вполне уверены в ее решении (Биттерли, стр. 14). Первым зарегистрированным экземпляром, по-видимому, является североафриканский загадочник 4-5 веков Симфосий.Его Latin Enigma 12 , Flumen et Piscis (Река и рыба) читает:

дом в terris clara quae voce resultat.
ipsa domus резонат, tacitus sed non sonat hospes.
ambo tamen currunt hospes simul et domus una. (Лири, стр. 41)

(На земле есть дом, который разносится чистым голосом.
Сам дом гудит, но его безмолвный хозяин не издает ни звука.
Тем не менее, и хозяин, и дом путешествуют вместе в одно и то же время.)

Очень похоже на Загадку 85, правда? У нас шумный дом и тихий обитатель, путешествующий вместе. Здесь обитатель hospes (хозяин… или гость, если на то пошло), что немного отличается от нашей древнеанглийской загадки, но все же в значительной степени.

Есть еще одна — на этот раз намного короче — латинская версия, в которой используется тот же мотив в сказочно названном романе Алкуина Йорка Disputatio regalis et nobilissimi iuvenis Pippini cum Albino scholastico (Споры между царственной и благородной молодежью Пиппином и ученым Алкуином).Алкуин написал этот прозаический спор с его многочисленными загадками и загадками для Пиппина, сына Карла Великого, вероятно, когда он работал при каролингском дворе с 781 по 794 годы (Биттерли, стр. 13). Мне * очень * нравится эта версия, потому что Пиппин в тексте — нахальная мелочь:

A. Vidi Hospitem currentem cum domo sua, et ille tacebat et domus sonabat.
Б. Para mihi rete, et pandam tibi. (Алкуин, стр. 142, номер 98)

(Алкуин: Я видел, как войско идет со своим домом; он молчал, и его дом гудел.
Пиппин: Принеси мне сеть, и я выложу ее для тебя.)

Пиппин говорит, что он прекрасно знает, где искать разгадку этой загадки. И его приказ достать сеть намекает на смерть рыбы, которую он шутит над удалением из ее водной среды обитания.

Когда дело доходит до Загадки 85, мне нравится думать, что эта водянистая среда обитания очевидна в повторяющихся звуках, пробивающихся сквозь стихотворение. Здесь чертовски много звуков ‘s’, ‘sh’ и ‘ch’ (в древнеанглийском ‘sc’ произносится как ‘sh’, а ‘c’ часто означает ‘ch’), перекликающихся с описываемой шумной, стремительной рекой. в первых строках.Но затем мы достигаем жестких ‘d’s последней линии, которые замедляют поток воды до остановки, связывая в процессе gedælað (разделены) и deað (смерть). Звуковая игра этого стихотворения ГЛУБОКАЯ, ребята.

А смерть рыбы — это нововведение древнеанглийского поэта — ни одно стихотворение в оригинальном английском языке не обходится без хорошей порции тревоги! Следовательно, смерть находится в центре внимания последних строк. Рыба — теперь говорящая, а не просто субъект загадки — размышляет: Ic его in wunige a enden ic life; / gif wit unc gedælað, me bið deað witod (я всегда пребываю в нем, пока живу; если мы двое разделены, смерть для меня неизбежна).Точно так же, как вода в «Загадке 77» защищала устрицу от прожорливых людей, здесь река поддерживает жизнь рыб. Но это еще не все: это животное и среда его обитания живут в симбиозе, общее siþ (путешествие). Они прочно связаны вместе сказочными двойными местоимениями unc и остроумие , местоимениями, значение которых — «мы двое» — предполагает особенно тесную связь. И животное / среда обитания также связаны между собой тем, что загадка, как выразилась Мари Нельсон, «имеет странно сложный единый предмет.Есть и , но это рыба и река, две идентичности, настолько зависимые, что кажутся одним »(стр. 611). Двое становятся одним.

Путешествие рыбы и реки прочно укладывается в христианские рамки, поскольку говорящий о рыбе (хорошее слово, это!) Провозглашает, что dryhten (господин) создал и животное, и его дом. Это и стихотворение, сфокусированное на единстве против разделения и жизни против смерти, привело к предложению альтернативного решения: душа и тело (Орчард, стр. 294; Мерфи, стр. 20).Стихи о душе и теле довольно распространены в древнеанглийском языке, и идея о том, что одно живет в другом, часто довольно неохотно! — всплывает снова и снова. См., Например, Soul and Body II (полный перевод здесь), который находится в той же рукописи, что и Riddle 85:

Eardode ic þe в иннане. No ic þe of meahte,
flæsce bifongen, ond me firenlustas
þine geþrungon. (строки 30-2а)

(Я жил в тебе. Я не мог выйти из тебя,
окруженный плотью и вашими греховными удовольствиями
угнетал меня.)

Да, я вижу, насколько это похоже на Загадку 85, за исключением того факта, что тело делает зло душе (земные искушения и все такое), в то время как река необходима рыбам. Так что, как утверждает Патрик Мерфи, более вероятно, что метафора души и тела используется, чтобы разгадать загадку о рыбе и реке, что-то еще кое-что… мои слова, а не его (стр. 20).

Имея это в виду и с учетом перспективы моего собственного отпуска на берегу реки, вырисовывающейся большой, я собираюсь предоставить вам теперь разгадывать эту загадку самостоятельно.

А вот и приятные фоновые звуки, когда вы идете:

Биография: Алкуин

c.730 / 737-19 мая 804

Алкуин, также известный как Элвайн, Альбин, Флаккус, родился в Йорке и получил образование в монастырской школе, из которых в 778 году он стал мастером. Преподавал Тривиум и Квадривиум.

В 781 году, возвращаясь из Рима, он встретил Карла Великого в Парме и присоединился к своему двору в Экс-ла-Шапель (Ахен). Попросили выступить против ереси «адопционистов».Уговорил Карла Великого отменить смертную казнь за язычество, 797.

В 796 году он поселился в Туре настоятелем местной школы Святого Мартина Мармутье. [Основан Мартином Турским, епископом 371. Карл Мартель остановил мусульманское продвижение во Францию ​​в битве при Туре 732 года. Tours был на паломническом пути в Сантьяго-де-Компостелла. Аббатство было разграблено норманнами 853 г. Норманны стали одними из самых богатых в Европе к 1000 году. В 1799 году он был ликвидирован, снесен и теперь является территорией школы.]

Он считался «самым образованным человеком из всех, кого можно было найти». Его работы включают стихи, грамматику, риторику, диалектику, теологию, этику, биографии, письма, и сборник головоломок, в том числе две известные паромные задачи; самый простой из них путник с волком, козой и ящиком капусты.

О проблеме переправы: «Она фигурирует в смешанном сборнике из около пятидесяти задач, которые включены в Труды Алкуин из Нортумбрии, который прислал для вашего удовольствия «несколько примеров тонкости арифметики» в сопровождении своего письма. LXXXV его августейшему воспитаннику, императору Карлу Великому.Будет справедливо — и, возможно, достаточно — отметить, что в первоначальной форме наша проблема отражала опасности и грубость современного поведения таким образом, что Баше [включивший это в свои Problemes Plaisants et Delectables of 1612], очевидно, считался непригодным для приличного общества семнадцатого века. века Франция. Те, кто ищет более подробную информацию, найдут их в латинском оригинале «. [Т. Х. О’Бейрн]

Моя версия проблемы с переправой Алкуина: Chessics # 2: Три ревнивых, рыцарских, педантичных офицера A, B, C и их жены a, b, c переходят реку на каноэ, на котором могут плыть только два человека, каждый с веслом.Как они перейди? Ревность означает, что в отсутствие мужа жена должна находиться исключительно в женской компании. Рыцарство означает что мужчины гребут как можно больше. Скрупулезность означает, что все операции проводятся в порядок ранга. Aa 1-й, Bb 2-й, Cc 3-й. В этих условиях решение единственное.

Решение: Гребцы по очереди: Aa, A, bc, a, BC, Bb, AB, c, ab, C, Cc, 11 перекрестков.

Источники и ссылки