античный опыт в современной математике

Пифагор — известный философ, мистик и математик из Древней Греции. Он стоял у истоков современной науки, и внес весомый вклад в развитие арифметики и геометрии. Его дело продолжили ученики Пифагора или пифагорейцы. Это активные представители просветленного общества, которые не просто выучили накопленные знания, но и смогли их приумножить.

Опыт пифагорейцев актуален и сегодня. Современные школы при изучении точных наук используют методики, по которым получали знания ученики Пифагора. Ведь комплексный подход к образованию помогает задействовать все познавательные ресурсы. Это улучшает процесс запоминания сложной информации, и делает ее понятной как для взрослых, так и для детей.

Ученики Пифагора: философия культуры и знаний

Школа пифагорейцев была основана в VI-IV столетиях до н.э. Собственное философское движение ученый создал вовсе не в Греции, а после переезда в город Кротон, на территорию современной Италии.

Школа Пифагора была нестандартным заведением. Все занятия проводились в виде дискуссий и обсуждений. Чтобы не допускать балагана у пифагорейцев действовали такие правила:

• соблюдать элементарные нормы этикета;
• разделять пищу;
• заправлять постель и поддерживать чистоту;
• не употреблять в пищу сердца и бобы.

Эти правила делали занятия и научные дискуссии более сдержанными и тематическими, а также исключали межличностные конфликты на бытовой почве. 

Ученики Пифагора были разделены на 2 класса, с учетом их ментальных возможностей и навыков:

1. Акусматики или слушатели. Они изучали религиозную и ритуальную составляющую науки. Фактически, это своеобразный прототип современных филологов и гуманитариев.
2. Математики или ученики. Это последователи Пифагора с развитым логическим мышлением, расширяющие знания в области арифметики, геометрии, гармоники и астрономии.

Подобное разделение практикуют и в современных школах. Но в «гуманитариев» часто записывают детей с математическим складом ума, которые просто не смогли раскрыть свой потенциал. Эту проблему помогают решить античные образовательные приемы.

Методы пифагорейцев в современном изучении математики

Ученики Пифагора получали знания, используя абстрактное мышление, визуализацию и открытые дискуссии. Это позволяло находить правильные решения, и совершенствовать науку, избегая рутинной зубрежки.

В современной педагогике используют такие методы изучения математики, пришедшие со времен школы Пифагора:

1. Визуализация. Детям порою сложно представить математические действия в уме. Поэтому преподаватели используют наглядные примеры и специальные инструменты. Это счеты, счетные палочки, таблички и карточки. Формирование объемных образов помогает запоминать скучную информацию.
2. Подключение абстрактного мышления. В младшем возрасте детям сложно представлять фигуры и числа, и уж тем более разделять их на составляющие. Развитие абстрактного мышления способствует формированию логики, и помогает замечать причинно-следственные связи.
3. Ассоциации. Практически каждый малыш сталкивался со сложностями при заучивании формул и решении задач. Поэтому стоит использовать ассоциации, перефразируя условия на понятные для ребенка предметы. Так вы ускорите процесс поиска решения, и поможете малышу понять точные науки.
4. Внедряем математический опыт с детства. Используйте современные головоломки и объемные фигуры-ребусы. Это могут быть логические пирамидки и сортеры или же обыкновенные счетные палочки.
5. Разделяйте на блоки. Каждое решение состоит из определенных обязательных элементов. Покажите и объясните эти блоки ребенку, что упростит процесс работы с задачами и уравнениями.

Важно: не забывайте о шаблонном мышлении. Поэтому периодически разбавляйте стандартные задачи заданиями на логику. Так вы сделаете интеллект малыша более гибким.

Вывод очевиден: античные методы учеников Пифагора актуальны и в современном изучении точных наук. Минимизируйте зубрежку, и сделайте познавательный процесс более увлекательным. Такой подход поможет раскрыть потенциал вашего ребенка.

Источники:

• Пифагор — Википедия 
• Пифагореи́зм — Википедия
• Foxford — Решаем задачи по математике
   

Остались вопросы?

Религиозные и философские воззрения Пифагора и его последователей. 10 гениев науки

Религиозные и философские воззрения Пифагора и его последователей

Конечно же, довольно трудно провести четкую грань между религиозными, философскими и научными взглядами Пифагора и его последователей, ведь пифагорейцы рассматривали все эти аспекты учения как единое целое. Тем не менее, мы попытаемся коротко, поскольку это не является основной темой нашей книги, изложить основы пифагорейской философии и религии.

Сразу следует оговориться, что и в этом вопросе, как и в других аспектах деятельности, далеко не все понятно, а именно: не всегда можно установить, какие именно доктрины принадлежали Пифагору и ранним пифагорейцам, а какие были приписаны им позже. Самым впечатляющим в этом смысле примером является один из основных постулатов, авторство которых якобы принадлежит пифагорейцам. Речь идет об утверждении «Все есть число».

Вот как, согласно Диогену, пифагорейцы описывали строение мира:

«Начало всего — единица; единице как причине подлежит как вещество неопределенная двоица; из единицы и неопределенной двоицы исходят числа; из чисел — точки; из точек — линии; из них — плоские фигуры; из плоских — объемные фигуры; из них — чувственно-воспринимаемые тела, в которых четыре основы — огонь, вода, земля и воздух; перемещаясь и превращаясь целиком, они порождают мир — одушевленный, разумный, шаровидный, в середине которого — Земля; и Земля тоже шаровидна и населена со всех сторон. Существуют даже антиподы, и наш низ — для них верх».

Порфирий дополняет это описание геометрическим выражением чисел. Единица геометрически представлялась в виде точки, двойка — линии, тройка — плоскости, четверка — в виде объемного тела (с ее помощью можно построить тетраэдр).

Долгое время эти положения считали основой пифагорейской философии. Но современные исследователи полагают, что эта точка зрения по меньшей мере спорна. Дело в том, что теорию о численном начале всего сущего пифагорейцам приписал Аристотель. Других подтверждений того, что Пифагор и его последователи придерживались такой доктрины, нет, а в свидетельствах Аристотеля есть основания сомневаться.

Но если такая доктрина и существовала, можно рассматривать разные ее толкования. В своей книге «Пифагор и его школа» Л. Я. Жмудь пишет: «Одно дело утверждать, что чувственно воспринимаемые вещи состоят из единиц, другое — верить, что все в мире устроено в согласии с числовым принципом, и третье — искать в природе конкретные числовые зако номерности».

Также существует мнение, согласно которому Пифагор не навязывал своим последователям тех или иных философских взглядов. В пользу такой точки зрения свидетельствуют серьезные различия между взглядами наиболее известных философов-пифагорейцев.

Тем не менее, мы считаем необходимым дать краткое описание взглядов пифагорейцев в таком виде, в котором они дошли до нас.

Единица (Монада) — начало всех чисел и вещей, символ божества, божественное начало сущего. Двойка (Дуада) — начало любого разделения, противоречия, изменения, олицетворение материального начала. Дуада считалась нечистой. Тройка (Триада) — первое порождение Дуады. За Триадой следует весь ряд чисел. Все вещи определены тремя: началом (прошлым), серединой (настоящим) и концом (будущим).

Особое значение придавалось Четверице (Тетрактиде). Она считалась священным числом. Тетрактида выражалась как сумма первых четырех чисел: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Ряд чисел от 1 до 10 описывал этапы сотворения Вселенной. Как Тетрактида состоит из 4-х первых чисел, так и все в мире состоит из 4-х элементов: 4 сезона в году, 4 стороны света, 4 стихии. Кроме того, человек, который занимается счетом, доходя до 10, как бы начинает счет сначала. Главной целью учения пифагорейцы считали познание Четверицы.

Повторившись, что границу между философией и религией пифагорейцы не проводили, перейдем к вопросам религиозного характера. Достоверно известно, что основой религиозных воззрений Пифагора была вера в переселение душ, или «метемпсихоз».

«О себе он говорил (по словам Гераклида Понтийского), что некогда он был Эфалидом и почитался сыном Кермеса; и Гермес предложил ему на выбор любой дар, кроме бессмертия, а он попросил оставить ему и живому и мертвому память о том, что с ним было. Поэтому и при жизни он помнил обо всем, и в смерти сохранил ту же память. Впоследствии он вошел в Евфорба, был ранен Менелаем; и Евфорб рассказывал, что он был когда-то Эфалидом, что получил от Кермеса его дар, как странствовала его душа, в каких растениях и животных она оказывалась, что претерпела она в Аиде и что терпят там остальные души. После смерти Евфорба душа его перешла в Гермотима, который, желая доказать это, явился в Бранхиды и в храме Аполлона указал щит, посвященный богу Менелаем, — отплывая от Трои, говорил он, Менелай посвятил Аполлону этот щит, а теперь он уже весь прогнил, оставалась только обделка из слоновой кости.

После смерти Гермотима он стал Пирром, делосским рыбаком, и по-прежнему все помнил, как он был сперва Эфалидом, потом Евфорбом, потом Гермотимом, потом Пирром. А после смерти Пирра он стал Пифагором и тоже сохранил память обо всем вышесказанном» (Диоген Лаэртий).

Религия Пифагора не отвергала стандартного греческого многобожия, но из богов пифагорейцы больше всего почитали Аполлона. Учение Пифагора имело и свои нравственные аспекты. Каждый человек должен следовать таким правилам: беги от всякой хитрости, отсекай от тела болезнь, от души невежество, от утробы — роскошество, от города — смуту, от семьи — ссору. Вещей, к которым стоит стремиться и которых следует добиваться, на свете три: во-первых, прекрасное и славное, во-вторых, полезное для жизни, в-третьих, доставляющее наслаждение. Имеется в виду не пошлое и обманчивое наслаждение, не чревоугодие и сладострастие, а другое, направленное на прекрасное, праведное и необходимое для жизни. Наряду с почитанием богов утверждались социальные нормы: подчинение старшим, власти, формирование власти лучших представителей народа (аристократии).

Кроме того, возможно, существовал целый ряд религиозных запретов бытового плана, о которых мы писали выше. Дискуссионным является вопрос о запрете на употребление животной пищи и принесения в жертву животных. Свидетельства биографов по этому поводу ставятся под сомнения. Многие исследователи считают, что вегетарианство на самом деле не было присуще ранним пифагорейцам, а приписано им позже.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Мистические воззрения святителя

Мистические воззрения святителя Живая, впечатлительная, чуткая натура митрополита Филарета не могла оставаться чуждой и равнодушной к мистическому движению, которое постепенно охваты вало русское общество с самого начала XIX века. В юности все таинственное пленяло его

Глава IX.

Экономические воззрения

Глава IX. Экономические воззрения Согласно взгляду на государство, преобладавшему в домарксовской социологии, оно считалось определяющем, а экономические отношения — определяемым элементом. Разделялся этот взгляд и Томасом Гоббсом. Весь смысл его социологического

2. Материалистические воззрения

2. Материалистические воззрения Рассмотрение материалистических взглядов Налбандяна мы начнем с анализа его представлений о предмете и задачах философии. В 60-е годы вопрос о предмете и задачах философской науки получил свое научное решение в трудах К. Маркса и Ф.

Религиозные взгляды

Религиозные взгляды В течение этих двух лет мне пришлось много размышлять о религии. Во время плавания па «Бигле» я был вполне ортодоксален; вспоминаю, как некоторые офицеры (хотя и сами они были людьми ортодоксальными) от души смеялись надо мной, когда по какому-то

Религиозные преследования

Религиозные преследования Вскоре после последней войны с Турцией, в основном после того, как к власти пришел Александр III и Победоносцев 10* стал фактически управлять делами, стало модным преследовать сектантов.

На Кавказе, точнее в Закавказье, между русским населением

УЧЕНИЕ ПИФАГОРА

УЧЕНИЕ ПИФАГОРА Все или почти все религии учат, что душа бессмертна. Греческая религия не составляла исключения. Самое раннее свидетельство тому находим у Гомера. Во время своих странствий Одиссей посетил печальный край киммерийцев, где находится вход в обитель Аида, и

Религиозные философы

Религиозные философы Дом Мурузи, малиново-красная мебель: сидит Андриевский, поэт и присяжный поверенный, умница, кот седоусый: «Не верю в безумия ваши, — целует он лапочку Гиппиус, — все в вас ломание; искренен — вот кто, — кивок на меня, — но зато он — рехнулся:

Религиозные взгляды

Религиозные взгляды Выдающийся ученый, в первую очередь, естествоиспытатель, гуманист, просветитель и прогрессивный общественный деятель, Франклин не мог разделять обветшалых догматов церкви.

В то же время в его эпоху выполнение церковных обрядов, принадлежность к

ГЛАВА VI. ХАРАКТЕР И ВОЗЗРЕНИЯ ПЕСТАЛОЦЦИ

ГЛАВА VI. ХАРАКТЕР И ВОЗЗРЕНИЯ ПЕСТАЛОЦЦИ Характер Песталоцци. – Отзыв Риттера. – Всепроникающая любовь Песталоцци. – Песталоцци и дети. – Песталоцци и современное ему общество. – Педагогические воззрения. – Критика старой системы. – Задачи народного

Под кровлей Пифагора

Под кровлей Пифагора Как и всегда, после большой операции наступила пауза, необходимая для отдыха и перегруппировки частей. Линия немецкого фронта, отброшенная от Харькова, установилась южнее его, близ железнодорожной линии Люботин — Мерефа, и упирается теперь в речку

Вопрос о происхождении Пифагора

Вопрос о происхождении Пифагора Сведения о происхождении Пифагора достаточно разнообразны и противоречивы. Все источники, однако, сходятся в том, что он родился на острове Самос или происходил из семьи самосца.Диоген Лаэртий передает три версии происхождения Пифагора.

2. Философские воззрения Ленина

2. Философские воззрения Ленина Характернейшая черта ленинского метода — единство теории и практики. <…>Изречение о том, что марксизм «не догма, а руководство к действию»[34], было одним из любимейших изречений Ленина. Это изречение в высокой степени характерно для

Андрей среди последователей Иисуса Назарянина

Андрей среди последователей Иисуса Назарянина То, что значимо для применения историко-критического метода к Иисусу Назарянину, относится и к Его окружению, о котором повествует Новый Завет: в частности, это значимо для его учеников, прежде всего для Двенадцати, а среди

И это все – тоже о нем Мозаичный портрет, созданный на основе рассказов коллег-музыкантов, учеников и последователей

И это все – тоже о нем Мозаичный портрет, созданный на основе рассказов коллег-музыкантов, учеников и последователей В этой главе вниманию читателей предлагаются воспоминания и оценки тех, кто знал Г.  Р. Терпиловского, работал с ним в Перми. Кто знает, может, из такой

История происхождения Пифагора и последователей его культа

Если вы мало что помните из школьной геометрии, вы, вероятно, помните теорему Пифагора: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух других стороны. Или, выражаясь формулой:

(Фото: pedica018/Shutterstock)

Формула пригодится в строительстве, геодезической съемке и навигации, а также в других повседневных делах, таких как выбор размера монитора или телевизора. покупка. Теорема также привела к математическим прорывам, таким как исчисление.

Но кем был Пифагор, автор знаменитой и полезной теоремы?

О математике и мистике

Помимо того, что он родился на греческом острове Самос около 569 г. до н.э. и умер около 475 г. до н.э., о нем мало что известно. Пифагор не оставил сочинений, но основал секту (или то, что некоторые сочтут культом): Божественное Братство Пифагора. Его последователей часто называют просто пифагорейцами, тайным обществом, приверженным сочетанию научных и мистических заповедей.

Они были эксцентричной компанией, и легенды, окружающие Пифагора и его последователей, восхитительны. Говорят, что Пифагор отказывался есть бобы и не позволял делать это своим последователям, потому что считал, что у бобов есть душа. Говорят, что пифагорейцы очень подозрительно относились к сексу, и, согласно Джордану Элленбергу в его книге «Как не ошибиться: сила математического мышления», они, возможно, верили, что у Земли есть планета-близнец по другую сторону Солнца.

Говорят, что некоторые из последователей Пифагора считали его богом. Однако также говорят, что они бросили его в море и оставили умирать, потому что теорема Пифагора была слишком, как мы могли бы сказать сегодня, разрушительной.

Хотя этот последний миф так же маловероятен, как и другие — а несчастный дерн, выброшенный за борт, обычно идентифицируется как Гиппас из Метапонта, еще один пифагорейец, а не как сам Пифагор, — он, безусловно, уместен, учитывая влияние теоремы. Это было опасно, по крайней мере, для пифагорейского мировоззрения. Разрабатывая эти специфические свойства треугольника, Пифагор наткнулся на существование иррациональных чисел. И это было большой проблемой.

«Все есть число»

Основной принцип пифагорейцев заключался в том, что числа являются сущностью всего, что провозглашается их девизом: «Все есть число». У них были веские причины так смотреть на вещи. Именно они установили, что музыкальные интервалы соответствуют длине струн струнного инструмента, и они вывели золотую середину или золотое сечение, изучая закономерности в природе, такие как раковины наутилуса и лепестки цветов.

Как объясняет Дэвид Фостер Уоллес в книге «Все и многое другое: компактная история бесконечности», «попытки пифагорейцев сформулировать связи между математической реальностью и физическим миром были частью более крупного проекта досократовской философии, который в основном дать рациональное, немифопоэтическое описание того, что было реальным и откуда оно взялось». Они хотели выяснить, как все устроено — отсутствующие боги с молниями — и везде, куда бы они ни посмотрели, они находили числа.

До открытия теоремы Пифагора греки считали, что все числа могут быть выражены либо целым числом, либо дробью — отношением двух целых чисел. Но теорема Пифагора проделала в этом понятии большую брешь. Прятаться на виду в теореме было чем-то очень тревожным. Если, например, вы посмотрите на прямоугольный треугольник, две стороны которого равны 1 дюйму (или футу, или чему-то подобному), гипотенуза — это число, квадрат которого равен 2.

Итак, чему равен квадратный корень из 2? То, с чем не могли справиться пифагорейцы: иррациональное число; то есть число, которое нельзя записать в виде дроби (или отношения). Для нас это просто означает, что математика немного сложнее (хорошо, может быть, намного сложнее). Для пифагорейцев это был вызов всему их мировоззрению, построенному на превосходстве и даже божественности чисел, которые не совершали таких странных вещей.

Конечно, теперь у нас есть всевозможные странные числа: мнимые числа, трансцендентные числа, действительно разрушающий ноль, плюс квантовая механика. И мы более-менее ковыряемся — умудряемся даже самолеты летать и компьютеры изобретать.

Старая версия теоремы

Сочинения других членов общества часто приписывались самому Пифагору, а не настоящему автору, предположительно из уважения (или, возможно, в качестве формы самообороны). Так что действительно несправедливо приписывать все странности или всю заслугу Пифагору.

Многое из того, что мы приписываем Пифагору, вполне может быть работой другого или нескольких пифагорейцев. Но реальное или составное, Пифагор не был первым, кто вычислил знаменитое отношение. Глиняные таблички, найденные на территории нынешнего центрального Ирака, показывают, что вавилонские математики знали основы знаменитой теоремы как минимум за 1000 лет до того, как она напугала пифагорейцев. Мы не знаем, как отреагировали вавилоняне, но надеемся, что они не столкнули никого с лодки.

Культ Пифагора | Еженедельник классической мудрости

На самом деле мало что известно о пифагорейцах или их довольно загадочном основателе, Пифагоре. От древности до нас дошло несколько различных рассказов о пифагорейцах. Платон и Аристотель ссылаются на пифагорейцев в своих философских трудах. И все же истинная природа «культа Пифагора» часто окутана тайной.

Возникает множество вопросов: кто они? Откуда они пришли? Во что они верили? И самое главное, были ли они культом?

Довольно интересный вопрос, не правда ли? Ну, я, конечно, так думаю. Я просто предполагаю, что вы делаете то же самое.

Такого рода вопрос не только интересен, он ужасно сложен. В контексте нашего современного мира мы могли бы считать группу людей, поклоняющихся математическим гармониям, не только культом, но и первыми кандидатами на смирительную рубашку.

Однако в контексте Древней Греции нередко придавалось большое значение, даже божественное значение, глубоким философским формулировкам.

Фалес Милетский, например, придавал большое значение воде;
он утверждал, что это основа всей вселенной. Сократ, в ходе своих философских исследований, в конце концов пришел к выводу, что в его голове есть небесный голос (даймон)
, который побуждает его стремиться к истинному знанию любой ценой.

Эти примеры, однако, не дают пифагорейцам свободного прохода. В то время как Сократ, Фалес и другие придавали большое значение своим открытиям, пифагорейцы открыто поклонялись своим философским убеждениям, зайдя так далеко, что после открытия 47-го предложения Евклида пожертвовали быком.

Говорят, что Пифагор и его последователи поселились в Кротоне на юге Италии около 530 г. до н. э. и начали создавать для себя общество, отражающее их, скажем так, уникальные идеалы жизни.

Центральным элементом пифагорейской системы верований было переселение души. Это включало переселение человеческих душ в тела животных. Возможно, именно по этой причине Пифагор строго запрещал употребление мяса, в результате чего его последователи стали одними из первых известных вегетарианцев.

Странным примечанием пифагорейской диеты является то, что им запрещалось есть бобы. Причина этого не совсем известна. Забавный анекдот рассказывает нам, что Пифагор считал, что человек теряет часть своей души всякий раз, когда выходит газ.

Они носили особую одежду, распространенную только среди их последователей. Настаивали на воздержании от плоти. Однако, похоже, это было более позднее дополнение. Мы знаем, что сам Пифагор не умер девственником.

Когда дело касалось их философских убеждений, пифагорейцы были крайне суеверны и мистичны. Они считали, что человеческая душа попала в непрерывный цикл смерти и реинкарнации. Учили, что единственный способ освободиться от этого цикла — получить более высокое понимание вселенной посредством интроспективных размышлений и философских исследований.

Итак, изучая природу вселенной, довольно сложный раздел философии, известный как метафизика, пифагорейцы пришли к выводу, что объекты в реальности можно различать по качествам, которыми они обладают. Некоторые вещи имеют разные формы, цвета или размеры.

Эти качества весьма разнообразны и ни в коем случае не универсальны. Лист, например, может быть зеленым. Однако не все вещи зеленые, некоторые вещи в этой вселенной даже не обладают воспринимаемым цветом. То же самое можно сказать о запахе, размере или форме.

Пифагорейцы пришли к выводу, что единственное универсальное качество всех вещей во Вселенной, единственное, что есть у всего общего, это то, что они поддаются исчислению и могут быть сосчитаны. Возможно, мы могли бы представить вселенную без обоняния и вкуса. Однако идея создания гипотетической вселенной без чисел практически невозможна.

И здесь мы видим основу пифагорейской философии. Они полагали, что числа были основной субстанцией реальности во многом так же, как Фалес считал воду источником существования во Вселенной.

Однако не все номера обрабатывались одинаково. Некоторые считались более святыми, чем другие. Например, пифагорейцы придавали большое значение числу один.

Вероятно, это связано с их представлениями о формировании Вселенной. Было высказано предположение, что когда-то в неструктурированной бесконечной вселенной существовали хаос и беспорядок. Затем на вселенную были наложены ограничения, и мир, каким мы его знаем, пришел в порядок; объекты стали исчисляемыми, космос стал воспринимаемым. Таким образом, вселенная возникла из некоего хаоса и обрела неведомое ранее единство. Эту идею гармоничной единой вселенной поддержали бы Парменид и Зенон Элейский.

Пифагорейцы уделяли пристальное внимание идее гармонии. Они пришли к выводу, что гармония — это уравновешивание противоположностей. Наиболее важными из этих противоположностей были идеи ограниченного и неограниченного, которые были представлены соответственно нечетными и четными числами.

Как они пришли к такому выводу, неизвестно. Считается, что, поскольку четные числа можно снова и снова делить на два, прежде чем неизбежно получится единица, они представляли идею безграничности.

С другой стороны, нечетные числа не могут быть разделены на два, и поэтому устанавливается ограничение на двудольное деление. Таким образом, они, как говорили, представляли идею предела.

Другие противоположности включали мужское и женское, правое и левое, покой и движение, свет и тьму, добро и зло, квадрат и продолговатость.

Пифагорейская философия начинает становиться резко произвольной, чем больше вы ее исследуете. Они считали, что число восемь должно было представлять справедливость, а число семь — мудрость. Такое мышление кажется не основанным на каком-либо реальном философском принципе и в результате становится неприятным.

В общем, это было мистическое общество, которое придавало большое значение математическим отношениям вселенной. Нельзя отрицать, что они внесли большой вклад в области математики и философии. Стоит только задуматься о теореме Пифагора, математическом принципе, который, как говорят, был открыт самим Пифагором, чтобы оценить глубокое влияние, которое они оказали на развитие научной мысли.