Евклид ученый: Евклид биография математика кратко

Содержание

Краткая биография Евклида

Евклид (365—300 до н. э.), древнегреческий математик.

Родился в Афинах (по другим данным, в Тире). О жизни учёного наверняка известно лишь то, что он был учеником Платона, а расцвет его деятельности пришёлся на время царствования в Египте Птолемея I Сотера (IV в. до н. э.).

Имя Евклида упоминается в письме Архимеда к друзьям, например к философу Досифею («О шаре и цилиндре»).

Некоторые биографические данные сохранились на страницах арабской рукописи XII в.: «Евклид, сын Наукрата, известный под именем Геометра, учёный старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира».

Во времена Птолемея Александрия, столица Египетского царства, была крупным культурным центром чтобы возвеличить своё государство, Птолемей призвал в страну учёных и поэтов, создав для них храм муз — Мусейон. Здесь были залы для занятий, ботанический и зоологический сады, астрономическая башня, комнаты для уединённой работы и главное — великолепная Александрийская библиотека.

В числе приглашённых оказался и Евклид, основавший здесь математическую школу и создавший для своих учеников фундаментальный труд по геометрии под общим названием «Начала» (около 325 г. до н. э.). В нём изложены основы планиметрии, стереометрии, теории чисел, алгебры, описаны методы определения площадей и объёмов и т. д.

«Начала» состоят из 15 книг. Частично они представляют собой обработку трактатов греческих математиков V—IV вв. до н. э. Ни одна научная книга не пользовалась такой популярностью, — говорили даже, что после Библии это самый популярный письменный памятник древности.

«Начала» копировали на папирусе; пергаменте, бумаге, а потом и типографским способом (впервые в 1533 г. в Базеле, Швейцария).

Вплоть до XX в. книга считалась базовым учебником по геометрии не только для школ, но и для университетов.

Ещё одно значительное сочинение Евклида — «Данные» представляет собой введение в геометрический анализ. Учёному принадлежат также «Явления» (посвящены элементарной сферической астрономии), «Оптика» (содержит учение о перспективе) и «Катоптрика» (излагает теорию отражений в зеркалах), небольшой трактат «Сечения канона» (включает десять задач о музыкальных интервалах), сборник задач по делению площадей фигур «О делениях» (дошёл до нас в арабском переводе).

Умер Евклид предположительно в Александрии.

Связанные записи:

Популярно:

Комментарии:

Евклид — биография, факты, открытия, фото

Евклид или Эвклид (ок. 325-265 гг. до н.э.) – древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Первый математик Александрийской школы.

В своем фундаментальном труде «Начала» описывал планиметрию, стереометрию и теорию чисел. Автор работ по оптике, музыке и астрономии.

В биографии Евклида есть множество интересных фактов, которые мы затронем в данной статье.

Итак, перед вами краткая биография Евклида.

Биография Евклида

Евклид появился на свет около 325 г. до н. э., однако эта дата является условной. Его точное место рождения также неизвестно.

Одни биографы Евклида предполагают, что он родился в Александрии, тогда как другие – в Тире.

Детство и юность

О начальных годах жизни Евклида фактически ничего неизвестно. Согласно сохранившимся документам, основную часть взрослой жизни он провел в Дамаске.

Принято считать, что Евклид происходил из состоятельной семьи. Это объясняется тем, что он учился в афинской школе Платона, где обучаться могли себе позволить далеко не бедные люди.

Стоит заметить, что Евклид хорошо разбирался с философскими идеями Платона, во многом разделяя учения знаменитого мыслителя.

В основном о биографии Эвклида нам известно благодаря трудам Прокла, при том что он жил почти на 8 столетий позже математика. Также некоторые сведения из жизни Евклида удалось обнаружить в работах Паппы Александрийского и Иоанна Стобея.

Если доверять сведениям последних ученых, то Евклид был добрым, вежливым и целеустремленным человеком.

Поскольку данных о мужчине катастрофически мало, некоторые эксперты предполагают, что под «Евклидом» следует подразумевать группу александрийских ученых.

Математика

В свободное время Евклид любил читать книги в знаменитой Александрийской библиотеке. Он глубоко изучал математику, а также исследовал геометрические принципы и теории иррациональных чисел.

В скором времени Евклид опубликует собственные наблюдения и открытия в своем главном труде «Начала». Данная книга внесла большой вклад в развитие математики.

Она состояла из 15 томов, в каждом из которых уделялось внимание той или иной области науки.

Автор рассуждал о свойствах параллелограммов и треугольников, рассматривал геометрию окружностей и общую теорию пропорций.

Также в «Началах» уделялось внимание теории чисел. Он доказал бесконечность множества простых чисел, исследовал четные совершенные числа и вывел такое понятие, как НОД – наибольший общий делитель. Сегодня нахождение данного делителя называется алгоритмом Евклида.

Помимо этого, в книге автор изложил основы стереометрии, представил теоремы об объемах конусов и пирамид, не забыв упомянуть об отношениях площадей кругов.

Данный труд вмещает в себе настолько много фундаментальных знаний, доказательств и открытий, что многие биографы Евклида склоняются к тому, что «Начала» были написаны группой лиц.

Специалисты не исключают того, что над книгой работали такие ученые, как Архит Тарентский, Евдокс Книдский, Теэтет Афинский, Гипсикл, Исидор Милетский и другие.

На протяжении последующих 2000 лет «Начала» выступали в качестве основного учебника по геометрии.

Следует отметить тот факт, что большая часть материалов, содержащихся в книге – не собственные открытия, а известные ранее теории. По сути, Евклид просто мастерски структурировал знания, которые были известны на то время.

Помимо «Начал», Эвклид опубликовал и ряд других работ, касающихся оптики, траектории движения тел и законов механики. Он является автором знаменитых вычислений, которые практикуются в геометрии – так называемых «евклидовых построений».

Ученый также сконструировал прибор для определения высоты тона струны и изучал интервальные соотношения, что привело к созданию клавишных музыкальных инструментов.

Философия

Евклид развивал философскую концепцию Платона о 4 элементах, которым сопоставляются 4 правильных многогранника:

  • огонь – тетраэдр;
  • воздух – октаэдр;
  • земля – куб;
  • вода – икосаэдр.

В таком контексте «Начала» могут пониматься, как оригинальное учение о построении «платоновых тел», т. е. 5 правильных многогранников.

Доказательство возможности построения подобных тел завершается утверждением того, что никаких иных правильных тел, кроме представленных 5, просто нет.

Стоит заметить, что для теорем и постулатов Евклида характерна причинно-следственная связь, помогающая увидеть логическую цепочку умозаключений автора.

Личная жизнь

О личной жизни Евклида мы практически ничего не знаем. Согласно одному преданию царь Птолемей, захотевший познать геометрию, обратился к математику за помощью.

Царь попросил Евклида показать ему легчайший путь к знаниям, на что мыслитель ответил: «К геометрии нет царской дороги». В результате данное высказывание стало крылатым.

Существуют доказательства, что Евклид открыл при Александрийской библиотеке частную математическую школу.

До наших дней не дошло ни одного достоверного портрета ученого. По этой причине все картины и скульптуры Эвклида являются просто плодом воображений их авторов.

Смерть

Биографы Евклида не могут с точностью определить дату его смерти. Принято считать, что великий математик скончался в 265 г. до н.э.

Фото Евклида

Ватиканский манускрипт (Теорема Пифагора)

Если вам понравилась краткая биография Эвклида – поделитесь ею в соцсетях. Если же вам нравятся биографии великих людей вообще, или интересные истории из их жизни, – подписывайтесь на сайт InteresnyeFakty.org.

Понравился пост? Нажми любую кнопку:

Интересные факты:

Евклид. Великие исторические личности. 100 историй о правителях-реформаторах, изобретателях и бунтарях

Евклид

315–255 до н. э.

Древнегреческий математик, автор первого теоретического трактата по математике «Начала».

Евклид — один из великих математиков древнего мира. Сведения о времени и месте его рождения до нас не дошли, однако известно, что Евклид жил в Александрии и расцвет его деятельности приходится на время царствования в Египте Птолемея I Сотера. Известно также, что Евклид был моложе учеников Платона (427–347 до н. э.), но старше Архимеда (ок. 287–212 до н. э.), так как он хорошо знал философию Платона и включил в свой труд изложение платоновых тел, то есть пяти правильных многогранников.

Важнейший математический труд гениального Евклида «Начала» имеет весьма почтенный возраст — свыше двух тысячелетий. Шли века, менялись народы, исчезали с лица земли одни государства и возникали другие, рушились города, горели в пламени пожаров книги и библиотеки. В папирусных свитках Александрийской библиотеки запечатлелись первые шаги египтян, открытия «халдейских мудрецов» из Вавилона, достижения греческих ученых. Египетские землемеры (а геометрия и означает «землемерие») уже в глубокой древности обладали большими познаниями. Были сделаны немаловажные открытия.

Но все-таки как наука геометрия стала развиваться в Древней Греции.

Это и Фалес Милетский (живший в VII–VI веках до н. э.), впервые применивший циркуль и угломер, и попытавшийся логически осмыслить и систематизировать те открытия в математике, которые были сделаны в Вавилоне и Египте. Это и Пифагор — глава первой математической школы, — он старался доказать теоремы при помощи чисто логического мышления. Очень много сделал для развития геометрии Аристотель. Можно назвать и других математиков, которые занимались геометрией. Возникла потребность в стройной логической системе, общей схеме построения науки. Эту схему и дал Евклид.

Конечно, он опирался на труды своих предшественников, но нигде не упоминает о первоисточниках. Предшественники Евклида — Фалес, Пифагор, Аристотель и другие много сделали для развития геометрии. Но все это были отдельные фрагменты, а не единая логическая схема. Так, установлено, что разрозненные математические знания, отдельные теоремы и их доказательства были впервые собраны и систематизированы в «Началах» Гиппократа Хиосского (он преподавал в Афинах в середине V века до н.  э.). Сочинение это утеряно. Основные положения «Начал» Гиппократа вошли в первые четыре книги «Начал» Евклида.

Как современников, так и последователей Евклида привлекала систематичность и логичность изложенных сведений. Главный труд математика — «Начала» состоят из тринадцати книг, построенных по единой логической схеме.

Сведений о жизни Евклида почти не сохранилось; остались лишь две-три легенды. Первый комментатор «Начал» Прокл (V век н. э.) уже не мог указать, когда и где родился Эвклид, когда умер. Прокл установил, что «этот муж (Евклид) жил в эпоху Птолемея I, ибо Архимед, который жил тотчас же вслед за царствованием Птолемея I, упоминает о нем». А затем следуют легенды.

Большую часть жизни Евклид провел в Александрии — городе, заложенном Александром Македонским на берегу Средиземного моря, у устья Нила. Правящий в Египте в 305–283 годы до н. э. царь Птолемей I, чтобы возвеличить свое государство, привлекал в страну ученых и поэтов, создав для них храм муз — Мусейон. Здесь были залы для занятий, ботанический и зоологический сады, астрономический кабинет, астрономическая башня, комнаты для уединенной работы и главное — великолепная библиотека. В числе приглашенных ученых оказался и Евклид, который основал в Александрии — столице Египта — математическую школу и написал для ее учеников свой фундаментальный труд.

Одна легенда гласит, что однажды Птолемей решил выучить геометрию. Вскоре обнаружилось, что овладеть математическими премудростями не так-то просто. Тогда он призвал Евклида, попросил указать ему легкий путь к математике. Ученый ответил: «К геометрии нет царской дороги».

Именно в Александрии Евклид основывает математическую школу и пишет большой труд по геометрии, объединенный под общим названием «Начала» — главный труд своей жизни. Полагают, что он был написан около 325 года до н. э.

Существует еще легенда, будто бы к Евклиду пришел молодой человек и стал под его руководством постигать геометрию. Изучив несколько первых теорем, юноша задал естественный вопрос — какова будет практическая польза от штудирования «Начал». Евклид не удостоил ученика ответом. Он призвал раба и сказал: «Дай ему грош, он хочет извлечь выгоду из учения».

Известно также, что первоначальное образование он получил от учеников Платона, а ведь над входом в Академию, основанную Платоном, была надпись: «Да не войдет сюда тот, кто не знает геометрии». Таким образом, о жизни великого человека почти ничего не известно, время поглотило его…

Но остался основной его труд — знаменитые «Начала». Главная особенность «Начал» — они построены по единой логической схеме, а все теории в них логически обоснованы. Труд Эвклида справедливо считается образцом дедуктивной системы. Небольшое число основных положений принимается без доказательств. Исходными положениями, на которых Эвклид строит систему геометрии, служат определения, аксиомы и постулаты.

Весь труд состоит из тринадцати книг, в содержание которых входит прежде всего изучение геометрических фигур на плоскости. Но для этого требуются числа, поэтому Евклид излагает учение о целых числах и дробях. Затем исследование распространяется с плоскости на пространство, на взаимоположение и величины поверхностей и объемы тел. Словом, «Начала» включают основы планиметрии, стереометрии, арифметики…

Каждая из тринадцати книг начинается определением понятий (точка, линия, плоскость, фигура и т. д.), которые в ней используются, а затем на основе небольшого числа основных положений (5 аксиом и 5 постулатов), принимаемых без доказательства, строится вся система геометрии.

«Начала» Евклида представляют собой изложение той геометрии, которая известна и поныне под названием евклидовой геометрии. Она описывает метрические свойства пространства, которое современная наука называет евклидовым пространством. Евклидово пространство является ареной физических явлений классической физики, основы которой были заложены Галилеем и Ньютоном. Это пространство пустое, безграничное, изотропное, имеющее три измерения. Евклид придал математическую определенность атомистической идее пустого пространства, в котором движутся атомы. Простейшим геометрическим объектом у Евклида является точка, которую он определяет как то, что не имеет частей. Другими словами, точка — это неделимый атом пространства.

В древности «Начала» сразу же получили широкую известность и стали быстро распространяться по всему свету, удивляя и покоряя умы. «Начала» пользовались большой популярностью: Архимед, Аполлоний Пергский и другие выдающиеся мыслители опирались на них в своих исследованиях в области математики и механики. Учеником Евклида был и Аристарх Самосский, тот самый, кто выдвинул гипотезу о движении Земли вокруг Солнца. С папируса «Начала» перешли на пергамент, потом на бумагу.

К сожалению, не сохранилось ни одной рукописи «Начал» эпохи античности, за исключением небольших отрывков, которые были найдены при раскопках в Египте и Геркулануме.

Шли века, а Евклид не старел. На протяжении четырех последних столетий его основное произведение публиковалось около 2500 раз. В среднем выходило ежегодно 6–7 изданий. Лучшим считается издание датского ученого И. Гейберга в пяти томах (1883–1888 годы), в котором приводится и греческий и латинский текст.

«Начала», написанные впервые на хрупком папирусе, прошли сквозь время. Созданные в III веке до н. э. «Начала» не потеряли своего значения и сейчас. Они занимают особое место в истории математики.

С именем Евклида связывают становление александрийской математики (геометрической алгебры) как науки. Его «Начала», в которых он систематизировал все предшествующие знания, — это гигантский шаг вперед для геометрии и математики, и для научного познания в целом. Тот же первый комментатор «Начал» Прокл об Евклиде говорит: «Он в самом деле был первым, о котором сообщается, что он действительно составил «Начала».

«Начала» Евклида — книга в истории человечества уникальная. Достаточно сказать, что учебники, по которым сейчас ведется первоначальное обучение в школе, представляют собой переработку труда Евклида.

Евклид, один из величайших геометров, решил найти законы, которым подчиняются все линии и тела в природе, и расположить эти законы в строгой системе… Свое величественное здание, свою грандиозную геометрию Евклид построил с удивительной стройностью, ясностью и широтой. В «Началах» подведен итог трехсотлетнего развития математики.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Продолжение на ЛитРес

Ученый, математик Евклид: идеи, творчество

Древнегреческий математик, создатель геометрии, как первой в истории аксиоматизированной системы знаний.

Наиболее известное произведение – «Начала», состоящие из 13 книг по геометрии (построенных по единой логической схеме: аксиомы – доказательства) и включающих около 500 теорем, как доказанных до Евклида, так  и им самим.

На протяжении столетий «Начала» Евклида издавались тысячи раз и служили образцом для точных наук. Не раз логике «Начал» пытались подражать и гуманитарии, например, такова «Этика» Спинозы.

«Система геометрии, изложенная Евклидом в его Началах, была уже не просто совокупностью вычислительных рецептов (подобно большинству шумерских и египетских математических трудов). Она была чем-то большим, нежели просто огромным собранием разделов математического знания, являясь, вероятно, первой во всех отношениях законченной теорией, изобретённой человечеством. Принижать значение работы Евклида, утверждая, что он «только» перекодировал математические знания своего времени, — значит обнаруживать плохое понимание природы и значения теорий. Более того, Евклид сформулировал свою геометрическую теорию в наиболее завершённом и убедительном виде, который был возможен в то время, а именно в аксиоматической форме, введенной им самим. Для методологии построения теории урок Евклида состоит в следующем. Если вы заботитесь о систематичности и строгости, попытайтесь применить аксиоматический метод».

Марио Бунге, Философия физики, М., «Прогресс», 1975 г., с. 186.

 

«Первая научная теория возникла в древнегреческой математике в III в. до Р. X., когда Евклиду удалось интегрировать разрозненные гипотезы элементарной геометрии в единую концептуальную систему, построенную с помощью аксиоматического метода. Основные принципы этого метода были разработаны задолго до Евклида ещё в IV в. до Р. X. Аристотелем, который впервые применил его для построения своей теории […] силлогистики. В качестве исходных аксиом этой теории выступали «совершенные» силлогизмы по первой фигуре, а в качестве теорем – силлогизмы по второй и третьей фигурам. Аристотель также внёс огромный вклад в формулирование формальных правил вывода логических следствий, обеспечивающих трансляцию свойства истинности от посылок к заключениям».

Меркулов И.П., Эпистемология (когнитивно-эволюционный подход), Том 2, СПб, «Издательство русской Христианской гуманитарной академии», 2006 г., с. 369-370.

 

Вероятно,  Евклид был одним из первых,  кто использовал соотношения золотого сечения для построения правильных 5-, 10-, 12- и 20-гранников.

Кроме геометрии, Евклид заложил основы геометрической оптики.

 

Первой печатной научной книгой — по технологии Иоганна Гутенберга — был латинский перевод «Начал» Евклида — книга «Elementes», которая вышла в 1482 году в Венеции.

 

В «Началах» Евклида линия определялась как «длина без ширины» или «граница поверхности». «Понадобилось два тысячелетия, прежде чем топологами были построены контрпримеры, показывающие несостоятельность этих «определений», а строгое определение линии было дано в 1920-х годах Павлом Самуиловичем Урынсоном».

Данилов Ю.А. , Сложность / Прекрасный мир науки, М., «Прогресс-Традиция», 2008 г., с. 154.

 

Бенедикт Спиноза, по аналогии с трудами Евклида, сделал попытку аксиоматизировать этику…

 

 

Аксиомы Евклида в современном изложении.

Евклид. Великий математический ученый.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЧАСТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ОО ДПО «МЕЖДУНАРОДНАЯ АКАДЕМИЯ ЭКСПЕРТИЗЫ И ОЦЕНКИ»

Итоговая аттестационная работа по дополнительной квалификации

«Учитель математики»

ТЕМА: «Евклид и его «Начала» »

Выполнил:

слушатель факультета ДПО

«Учитель математики»

Казанцева Екатерина Михайловна

г. Саратов, 2017 г.

Содержание

Введение……………………………………………………………………………

Глава 1. Биография

1.1 История Евклида………………………………………………………….

    1. Евклид и его «Начала»……………………………………………………

Глава 2. Начала

    1. Начала.…………………………………………………………………….

Глава 3. Манускрипты и издание «Начал»

3.1 Греческий текст «Начал»…………………………………………………

3.2 Латинский текст «Начал»…………………………………………………

3.3 Русские переводы…………………………………………………………

3.4 Тексты «Начал»……………………………………………………………

Заключение………………………………………………………………………..

Список литературы……………………………………………………………..

Введение

Начала Евклида(лат. Елемента) – математический и геометрический трактат, состоящий из 13 книг, написанных греческим математиком Евклидом из Александрии около 300 до н.э. Он состоит из собрания определений, постулатов (аксиом), утверждений (теорем и построений) и математических доказательств этих утверждений. Тринадцать книг охватывают Евклидову геометрию и древнегреческую версию теорию чисел. За исключением книг в подвижной сфере Автолика, Начала-самый греческий математический трактатов который сохранился до наших дней и это старейшая работа по аксиоматичным дедуктивным выводом в математике. Она усовершенствовала инструментарий для развития логики и современной науки.

Начала Евклида успешны и имеют крупнейшее влияние из всех когда-либо написанных книг. Впервые напечатана в Венеции в 1482 году, одна из первых математических работ напечатанных после изобретения печатного пресса. Она использовалась как основной текст по геометрии в западном мире на протяжении около 2000 лет. На протяжении веков когда квадравиум был включен в учебный план университетов, знание как минимум части Евклидовых Начал требовалось от всех студентов. Не раньше 20-го века, к которому книга повсеместно преподавалась в школьных учебниках, она перестала считаться чем-то, что образованный человек должен был прочитать.

1.1 История Евклида.

Евклид был известным математиком, которого принято называть «отцом геометрии».

Евклид родился около 330 г. до н.э., предположительно, в г. Александрия. Некоторые арабские авторы полагают, что он родился в богатой семье из Нократа. Некоторые биографические данные имеются на страницах арабской рукописи XII в. «Евклид, сын Наукрата, сына Зенарха, известный под именем «Геометра», ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира». Известно также, что первоначальное образование он получил от учеников Платона, а ведь над входом в Академию, основанную Платоном, была надпись: «Да не войдет сюда тот, кто не знает геометрии». Таким образом, о жизни великого человека почти ничего не известно, время поглотило его. Но действительно,

Евклид учился в древней школе Платона в Афинах, что было под силу только состоятельным людям. Уже после этого он переехал в г. Александрию в Египет, где и положил начало разделу математики, ныне известную как «геометрия».

Жизнь Евклида Александрийского часто путают с жизнью Евклида из Мегуро, что делает сложным обнаружение любых надёжных источников жизнеописания математика. Достоверно известно только то, что именно он привлёк внимание общественности к математике и вывел эту науку на совершенно новый уровень, совершив революционные открытия в этой области и доказав множество теорем. В те времена Александрия была не только крупнейшим городом в западной части мира, но и центром крупной, процветающей отрасли производства папируса. Именно в этом городе Евклид разработал, записал и представил миру свои труды по математике и геометрии. Как уже было сказано раннее, большую часть жизни Эвклид провел в Александрии -городе, заложенном Александром Македонским на берегу Средиземного моря, у устья Нила. Царь Птолемей I сделал Александрию столицей Египта. Чтобы возвеличить свое государство, он привлекал в страну ученых и поэтов, создав для них Мусейон — храм муз.

Где были залы для занятий, ботанический и зоологический сады, анатомический кабинет, астрономическая башня, комнаты для уединенной работы, а главное — большая библиотека. В Мусейон стекались математики, астрономы, историки, поэты. Александрия стала мировым центром литературы. В разное время здесь читали лекции и работали многие выдающиеся ученые: Архимед, Аристарх Самосский, Гиппарх и многие другие.

Есть свидетельства, что Евклид открыл при Александрийской библиотеке частную школу, чтобы иметь возможность обучать математике таких же энтузиастов, как он сам. Также бытует мнение, что в поздний период своей жизни он продолжал помогать своим ученикам в разработке собственных теорий и написании трудов.

Год и причины смерти Евклида остаются для человечества тайной. В литературе встречаются туманные намёки на то, что он мог умереть около 260 г. до н.э. Наследие, оставленное учёным после себя, куда более значимо, чем впечатление, которое он производил при жизни. Его книги и труды продавались по всему миру до самого XIX века. Наследие Евклида пережило учёного на целых 200 веков, и служило источником вдохновения для таких личностей, как, например, Авраам Линкольн. По слухам, Линкольн всегда суеверно носил при себе «Начала», и во всех своих речах цитировал работы Евклида. Даже после смерти учёного, математики разных стран продолжали доказывать теоремы и издавать труды под его именем. В общем и целом, в те времена, когда знания были закрыты для широких масс, Евклид логическим и научным путём создал формат математики древности, который в наши дни известен миру под названием «Евклидовой геометрии».

1.2 Евклид и его начала.

Шли века, менялись народы, исчезали с лица земли одни государства и возникали другие, рушились города, горели в пламени пожаров книги и библиотеки. А «Начала», написанные впервые на хрупком папирусе, прошли сквозь время. Созданные в III в. до н. э. «Начала» не потеряли своего значения и сейчас. Они занимают особое место в истории математики.

Евклида обоснованно считают «отцом геометрии». Именно он заложил основы этой области знаний и возвёл её на должный уровень, открыв обществу законы одного из самых сложных разделов математики в то время. После переезда в Александрию, Евклид, как и многие учёные того времени, благоразумно проводит большую часть времени в Александрийской библиотеке. Этот музей, посвящённый литературе, искусству и наукам, был основан ещё Птолемеем. Здесь Евклид начинает объединять геометрические принципы, арифметические теории и иррациональные числа в единую науку геометрию. Он продолжает доказывать свои теоремы и сводит их в колоссальный труд «Начала».

За всё время своей малоисследованной научной деятельности, учёный закончил 13 изданий «Начал», охватывающих широкий спектр вопросов, начиная с аксиом и утверждений и заканчивая стереометрией и теорией алгоритмов. Наряду с выдвижением различных теорий, он начинает разрабатывать методику доказательства и логическое обоснование этих идей, которые докажут предложенные Евклидом утверждения.

Его труд содержит более 467 утверждений касательно планиметрии и стереометрии, а также гипотез и тезисов, выдвигающих и доказывающих его теории относительно геометрических представлений. Доподлинно известно, что в качестве одного из примеров в своих «Началах» Евклид использовал теорему Пифагора, устанавливающую соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Евклид утверждал, что «теорема верна для всех случаев прямоугольных треугольников». Известно, что за время существования «Начал», вплоть до XX века, было продано больше экземпляров этой книги, чем Библии. «Начала», изданные и переизданные бесчисленное количество раз, в своей работе использовали разные математики и авторы научных трудов. Евклидова геометрия, не знала границ и учёный продолжал доказывать всё новые теоремы в совершенно разных областях, как, например, в области «простых чисел», а также в области основ арифметических знаний. Цепочкой, логических рассуждений, Евклид стремился открыть тайные знания человечеству. Система, которую учёный продолжал разрабатывать в своих «Началах», станет единственной геометрией, которую будет знать мир вплоть до XIX века. Однако современные математики открыли новые теоремы и гипотезы геометрии, и разделили предмет на «Евклидову геометрию» и «не Евклидову геометрию».

Сам учёный называл это «обобщённым подходом», основанным не на методе проб и ошибок, а на представлении неоспоримых фактов теорий. Во времена, когда доступ к знаниям был ограничен, Евклид принимался за изучение вопросов совершенно разных областей, в том числе и «арифметики и чисел». Он заключил, что обнаружение «самого большого простого числа» физически невозможно. Это утверждение он обосновал тем, что, если к самому большому известному простому числу добавить единицу, это неизбежно приведёт к образованию нового простого числа. Этот классический пример является доказательством ясности и точности мысли учёного, несмотря на его почтенный возраст и времена, в которые он жил.

Евклид обобщил достижения геометров, все знания, накопленные к тому времени. В этом ему помогли книжные собрания Александрийской библиотеки. В папирусных свитках запечатлелись и первые шаги египтян, и открытия «халдейцких мудрецов» из Вавилона, и достижения греческих ученых. Евклид всегда мог обратиться к математическим трудам своих предшественников.

Египетские землемеры (а геометрия и означает «землемерие») уже в глубокой древности обладали большими познаниями. Они научились измерять площадь прямоугольников, треугольников, трапеций. Нашли способ приблизительно вычислять площадь круга по его диаметру, им было и но свойство так называемого египетского треугольника со сторонами 3, 4, 5; они знали формулы для вычисления объемов куба, цилиндра, конуса и пирамиды.

Можно перечислить много разных математиков, которые занимались геометрией в период от Фалеса Милетского до Аристотеля. Но когда возникла потребность в стройной логической системе, общей схеме построения науки. Эту схему и дал Эвклид. Конечно, он опирался на труды своих предшественников, но нигде не упоминает о первоисточниках. Так, установлено, что разрозненные математические знания, отдельные теоремы и их доказательства были впервые собраны и систематизированы в «Началах». Основные положения «Начал» Гиппократа вошли в первые четыре книги «Начал» Евклида.

Немного легенды, однажды Птолемей решил выучить геометрию. Вскоре обнаружилось, что овладеть математическими премудростями не так-то просто. Тогда он призвал Евклида, попросил указать ему легкий путь к математике. Ученый ответил: «К геометрии нет царской дороги».

Весь труд состоит из тринадцати книг, в содержание которых входит прежде всего изучение геометрических фигур на плоскости. Но для этого требуются числа, поэтому Евклид излагает учение о целых числах и дробях. Затем исследование распространяется с плоскости на пространство, на взаимоположение и величины поверхностей и объемы тел. Словом, «Начала» включают основы планиметрии, стереометрии, арифметики. Главная особенность «Начал»- они построены по единой логической схеме, а все теории в них логически обоснованы. Труд Евклида справедливо считается образцом дедуктивной системы. Небольшое число основных положений принимается без доказательств. Исходными положениями, на которых Евклид строит систему геометрии, служат определения, аксиомы и постулаты. Каждая из тринадцати книг начинается определением терминов, которые в ней появляются. Вначале Евклид вводит определения основных понятий- точка, линия, прямая линия, плоскость, угол, фигура. В первой книге, кроме того, предшествуют аксиомы и постулаты (в некоторых списках «Начал» аксиомы и постулаты объединены в одну группу аксиом). Свое величественное здание, свою грандиозную геометрию Евклид построил с удивительной стройностью, ясностью и широтой. В «Началах» подведен итог трехсотлетнего развития математики начиная с Фалеса Милетского.

В древности «Начала» сразу же получили широкую известность и стали быстро распространяться по всему свету, удивляя и покоряя умы. Ученый Э. Кольман говорит о «Началах»: «Не может быть сомнения, что автор этого замечательного труда был великим геометром». Гигантская задача систематизации обширного разнообразного материала, которую он столь блестяще выполнил, сама по себе была под силу лишь крупнейшему ученому. Этот труд, являющийся одной из самых распространенных книг, выдержавших на протяжении более чем двух тысячелетий очень большое количество изданий в переводах на многочисленные языки, в сокращенных и переработанных вариантах, служит до сих пор, несмотря на громадное развитие, которое проделала за этот период геометрия, образцом для учебников элементарной геометрии».

Надо напомнить, что книга эта первоначально была написана на папирусных свитках, с нее снимали копии и, вероятно, в большом количестве. Нетрудно представить, как трудолюбивые писцы в разных городах и странах старательно переписывали заостренными тростинками на папирусе самых высших сортов теоремы Евклида, с помощью циркуля и линейки чертили геометрические фигуры. «Начала» пользовались большой популярностью: Архимед, Аполлоний Пергский и другие выдающиеся мыслители опирались на них в своих исследованиях в области математики и механики.

Учеником Евклида был и Аристарх Самосский, тот самый, кто выдвинул гипотезу о движении Земли вокруг Солнца. Ученики и последователи великого математика снова и снова изучали его труд, делали на полях заметки, пояснения, исправления. С папируса «Начала» перешли на пергамент, потом на бумагу. Копии следовали одна за другой — иначе вряд ли дошел бы до нас этот неповторимый труд. К сожалению, не сохранилось ни одной рукописи «Начал» эпохи античности, за исключением небольших отрывков, которые были найдены при раскопках в Египте и Геркулануме.

Постепенно, вместе с упадком античного общества, число геометров уменьшается. К середине II в. до н. э. преподавание этой науки не поднимается выше школьного уровня, а за пределами Александрии становится поверхностным. Римляне, например, лишь заучивали определения и формулировки теорем. Возникла даже легенда, будто Евклид составил всего-навсего формулировки теорем. Словом, наука не развивалась, наступило время комментаторов и компиляторов. Среди них заслуживает упоминания Папп Александрийский, живший в конце III в. н. э. Он занялся восстановлением позабытых к тому времени математических знаний. В его основном труде- «Математическое собрание»- одна из частей отведена комментариям «Начал» Евклида. «Собрание» Паппа- нечто вроде учебника для изучающих геометрию, с историческими справками, с улучшением и видоизменением известных теорем и доказательств. Другой математик, Теон Александрийский (отец знаменитой Гипатии- женщины-математика, астронома, философа, растерзанной толпой религиозных фанатиков) частично упростил труд великого геометра, внес в него некоторые дополнения и исправления. Этот текст «Начал» был весьма распространен в средние века. Более того, все рукописи, дошедшие до нас (за исключением одной), основываются на издании Теона. Наконец, в V в. н. э., после гибели Александрийской научной школы, математик и философ Прокл прокомментировал «Начала» Евклида (сохранилась только часть работы). Правда, в Константинополе сберегались многие старые своды рукописей, и здесь-то комментаторы продолжали хранить память о греческой науке. Среди других трудов были и «Начала» Евклида, которые несколько веков не находили применения, были как бы похоронены. Они вновь стали известны только к концу средних веков, когда арифметика, геометрия входят в круг высшего образования.

«Начала» Евклида — книга в истории человечества уникальная. Достаточно сказать, что учебники, по которым сейчас ведется первоначальное обучение в школе, представляют собой переработку труда Евклида. Без преувеличения можно сказать, что влияние «Начал» Эвклида испытали на себе многие выдающиеся ученые. С томом Евклида не расставался с юности до последних дней Николай Коперник, тщательно изучал «Начала» Галилео Галилей, вслед за Евклидом и Ньютон свой фундаментальный труд назвал «Началами», план своего основного сочинения «Этика» Спиноза целиком взял из Евклида. Средневековый итальянский математик Кардано писал о «Началах» Евклида: «Неоспоримая крепость их догматов и их совершенство настолько абсолютны, что никакое другое сочинение, по справедливости, нельзя с ним сравнивать. В них отражается такой свет истины, что, по-видимому, только тот способен отличить в сложных вопросах геометрии истинное от ложного, кто усвоил Евклида». Геометрией Евклида был очарован и Альберт Эйнштейн. Он говорил: «Мы почитаем древнюю Грецию как колыбель западной науки. Там была впервые создана геометрия Евклида- это чудо мысли, логическая система, выводы которой с такой точностью вытекают один из другого, что ни один из них не был подвергнут какому-либо сомнению. Это удивительнейшее произведение мысли дало человеческому разуму ту уверенность в себе, которая была необходима для его последующей деятельности. «Тот не рожден для теоретических исследований, кто в молодости не восхищался этим творением».

2.1 НАЧАЛА.

Первая книга.

Первая книга начинается определениями, из которых первые семь гласят:

Точка есть то, что не имеет частей. («Точка есть то, часть чего ничто»)

Линия — длина без ширины.

Края же линии — точки.

Прямая линия есть та, которая ровно лежит на всех своих точках.

Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

Края же поверхности — линии.

Плоская поверхность есть та, которая ровно лежит на всех своих линиях.

Комментаторы эпохи Возрождения предпочитали говорить, что точка есть место без протяжения. Современные авторы, напротив, признают невозможность определения основных понятий, в частности, таков подход в «Основаниях геометрии»

Постулаты Евклида

За определениями Евклид приводит постулаты.

От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.

Все прямые углы равны между собой.

Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Наиболее интересен в аксиоматике Евклида последний, знаменитый пятый постулат. Среди других, интуитивно очевидных постулатов, он чужероден, его громоздкая формулировка закономерно вызывает некоторое чувство протеста и желание отыскать для него доказательство. Такие доказательства уже в древности пытались построить Птолемей и Прокл, а в Новое время из этих попыток развилась неевклидова геометрия. Следует отметить, что первые 28 теорем I книги относятся к абсолютной геометрии, то есть не опираются на V постулат.

За постулатами следуют аксиомы, которые имеют характер общих утверждений, относящихся в равной мере как к числам, так и к непрерывным величинам:

Равные одному и тому же равны и между собой.

И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.

И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

(И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.)

(И удвоенные целые одного и того же равны между собой.)

(И половины одного и того же равны между собой.)

И совмещающиеся друг с другом равны между собой.

И целое больше части.

(И две прямые не содержат пространства.)

За аксиомами следуют три теоремы, представляющие собой задачи на построение, давно вызывающие споры. Так, вторая из них: предлагается «от данной точки отложить прямую, равную данной прямой». Нетривиальность этой задачи состоит в том, что Евклид не переносит отрезок на прямую соответствующим раствором циркуля, полагая такую операцию недозволенной, и использует третий постулат (I, Постулаты, 3) в неожиданно узком смысле.

При доказательстве четвёртой теоремы , выражающей признак равенства треугольников, Евклид использует метод наложения, никак не описанный в постулатах и аксиомах. Все комментаторы отмечали эту лакуну, Гильберт не нашел ничего лучшего, как сделать признак равенства треугольников по трём сторонам аксиомой III-5 в своей системе. С другой стороны, четвёртый постулат ,теперь принято доказывать, как это сделал впервые Христиан Вольф, у Гильберта это утверждение выводится из аксиом.

Затем рассматриваются различные случаи равенства и неравенства треугольников. Теоремы о параллельных прямых и параллелограммах, так называемые «местные» теоремы о равенстве площадей треугольников и параллелограммов на одном основании и под одной высотой. Заканчивается I книга теоремой Пифагора.

Книги II—XIII

II книга — теоремы так называемой «геометрической алгебры».

Интерпретация содержания 2книги «Начал» Евклида давно является предметом историко-научных дискуссий. Некоторые предложения этой книги могут быть истолкованы как геометрические иллюстрации к формулам сокращенного умножения или к приемам решения квадратных уравнений. По этой причине они были отнесены Георгом Цейтеном и Полем Таннери к так называемой Геометрической алгебре древних. Для работ историков математи этого направления характерна тенденция не только переводить рассуждения древнегреческих математиков с языка геометрических чертежей на язык алгебраических формул с целью «улучшения понимания», но также и вычитывать в древнегреческой математики некий изначальный алгебраический подтекст.

III книга — предложения об окружностях, их касательных и хордах, центральных и вписанных углах.

Окружность-это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое ее радиусом.

IV книга — предложения о вписанных и описанных многоугольниках, о построении правильных многоугольников.

Описание о том, что окружность, проходящая через вершины многоугольника, называется описанной около многоугольника. Окружность, для которой стороны многоугольника являются касательными, называются вписанной в многоугольник. Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность. Для треугольника это всегда возможно. Что же говорится о правильных многоугольниках. Правильный многоугольник-это многоугольник с равными сторонами и углами.

V книга — общая теория отношений, разработанная Евдоксом Книдским.

Евдокс, построил так называемую « общую теорию отношений», основанную на новом определении величин. После чего пропорциональность двух величин можно определить с помощью «равенства отношений», не опраясь при этом на понятия «отношения».

VI книга — учение о подобии геометрических фигур. Эта книга завершает евклидову планиметрию. Из этой книги, станет точно понятно, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны.

VII, VIII и IX книги посвящены теоретической арифметике. Евклид в качестве чисел рассматривает исключительно натуральные числа. Для него «Число есть совокупность единиц». Здесь излагаются теория делимости и пропорций, доказывается бесконечность множества простых чисел, приводится алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, строятся чётные совершенные числа. Евклид доказывает также формулу для суммы геометрической прогрессии.

X книга — классификация несоизмеримых величин. Это самая объёмная из книг «Начал». Примером несоизмеримых величин могут служить длины диагонали и стороны квадрата или площади круга и квадрата, апостроенного на радиусе.

XI книга — начала стереометрии: теоремы о взаимном расположении прямых и плоскостей; теоремы о телесных углах, объём параллелепипеда и призмы, теоремы о равенстве и подобии параллелепипедов.

XII книга — теоремы о пирамидах и конусах, доказываемые с помощью метода исчерпывания. Здесь доказывается, например, теорема о том, что объём конуса составляет одну треть от объёма цилиндра с теми же основанием и высотой.

XIII книга — построение правильных многогранников; доказательство того, что существует ровно пять правильных многогранников.

Евклид нигде в книге не ссылается на других греческих математиков, хотя несомненно опирается на их результаты. Историки науки показали, что прототипом для труда Евклида послужили более ранние сочинения античных математиков:

  • Книги I—IV и XI — «Начала» Гиппократа Хиосского.

  • Книги V—VI и XII — труды Евдокса Книдского.

  • Книги VII—IX — сочинения Архита Тарентского и других пифагорейцев. По мнению Ван дер Вардена, это самая древняя по содержанию часть «Начал», восходящая к V веку до н. э.

  • Книги X и XIII — труды Теэтета Афинского.

Вопрос о том, содержат ли «Начала» какие-либо результаты самого Евклида или автор занимался только систематизацией и унификацией накопленных знаний, является предметом дискуссий. Есть предположение, что алгоритм построения правильного 15-угольника разработан Евклидом. Вероятно, он же произвёл отбор и окончательную формулировку аксиом и постулатов.

В целом содержание «Начал» покрывает значительную часть античной теоретической математики. Однако некоторая часть известного древнегреческим математикам материала осталась вне этого труда — например, конические сечения (Евклид посвятил им отдельный труд, который не сохранился), длина окружности, теория приближённых вычислений.

Многие комментаторы Евклида отмечали, что данные им определения геометрических понятий бессодержательны и создают не более чем наглядный образ — например, «линия есть длина без ширины». Фактически подобные «определения» нигде далее в тексте не используются, ни одна теорема на них не опирается. Излишним оказался, как уже говорилось выше, и IV постулат Евклида о равенстве всех прямых углов, его можно доказать как теорему.

Далее, по замыслу все доказательства теорем должны вытекать из явно сформулированных аксиом. На самом деле многие факты у Евклида опираются на подразумеваемую или наглядную очевидность. Прежде всего это касается понятия движения, которое неявно используется во многих местах — например, при наложении треугольников для доказательства признаков их равенства. Уже Прокл отметил этот факт как существенный методический пробел. Аксиом движения Евклид не дал — возможно, чтобы не смешивать высокую геометрию с «низкой» механикой. Современные авторы аксиоматики предусматривают специальную группу «аксиом конгруэнтности».

Уже в доказательстве самого первого предложения («на любом отрезке можно построить равносторонний треугольник») Евклид подразумевает, что две окружности радиуса R, чьи центры находятся на расстоянии R, пересекаются в двух точках. Ни из каких аксиом это не следует. Для логической полноты следовало бы добавить аксиому непрерывности. Аналогичные упущения имеют место для пересечения прямой и окружности, в употреблении неопределяемого понятия «находиться между» (для точек) и в ряде иных мест. Аксиоматика Евклида не позволяет, например, доказать, что не существует прямой, проходящей через все три стороны треугольника.

Многочисленные комментаторы Евклида делали неоднократные попытки исправить отмеченные недочёты — было увеличено число аксиом, уточнены формулировки и доказательства. Некоторые комментаторы (например, Теон Александрийский и Христофор Клавиус) при переиздании вносили свои поправки прямо в Евклидовский текст. Пересмотренная и значительно дополненная версия аксиоматики, предложенная Пьером Эригоном в 1632 году, оказалась неудачной. Первым крупным достижением в этом направлении стала монография «Лекции по новой геометрии» немецкого математика Морица Паша (1882). Завершением стала современная аксиоматика Гильберта для геометрии (1899 год). Она, а также различные её вариации логически полны и нигде не опираются на интуитивную очевидность. Одним из важнейших открытий XIX века стало обнаружение и исследований непротиворечивых неевклидовых геометрий. Оно показало, что преимущественное использование на практике Евклидовой геометрии не означает, что эта геометрия «абсолютно истинна».

3.1 Греческий текст «Начал»

При раскопках античных городов найдено несколько папирусов, содержащих небольшие фрагменты «Начал» Евклида. Самый известный был найден в «городе папирусов» Оксиринхе в 1896-1897 годах.

Греческий текст «Начал» Еваклида известен по византийским манускриптам. На их основе, а также с учетом арабских переводов «Начал» (IX век и далее) оригинальный текст был реконструирован датским историком науки Гейбергом в конце XIX века, его методы подробно описаны Хизом.

Гейбер использовал в своей реконструкции 8 греческих манускриптов, датируемых сейчас IX-XI веками. Из этих манускриптов семь в своем заглавии имеют пометку «из издания Теона» и поэтому называются Теоновскими. Ватиканский манускрипт такой пометки не имеет и поэтому считается неподверженным редакции Теона. Теоновские манускрипты разнятся между собой, и общих признаков, отличающих их от ватиканского манускрипта. На полям манускриптов имеются многочисленные комментарии, взяты частично из комментариев Прокла, которые вписывают «Начала» в контекст греческой культуры.

История обретения византийских манускриптов темна.Вероятно, они попали в Европу еще в XVI веке, но не были опубликованы. В первом издании греческого текста, осуществленном Йоханом Хервагеном между 1533 и 1558 годов под редакцией Симона Гринера, использованы манускрипты, которые, по мнению Гейберга, представляют собой весьма плохие копии XVI века. Лишь в 1808 году Пейрар во время наполеоновских экспроприаций нашел три манускрипта в Ватикане и среди них важнейший ватиканский.

3.2 Латинский текст «Начал»

В Европе «Начала» Евклида на латинском языке были хорошо известны и в Средние века, и в эпоху Возрождения, однако далеко не в привычном теперь виде. Средневековые латинские тракты, содержащие фрагменты «Начал» Евклида, каталогизированы мюнхенским ученым М. Фолькертсом. В этом каталоге манускрипты разделены на следующие группы:

  1. Так называемая «Геометрия Боэция». Трактаты этой группы начинаются словами «Incipit Geometriae Boetii», имеют ряд общих признаков, хотя их тексты значительно расходятся. Язык не засорен арабскими теминами, поэтому считается, что геометрия Боэция- прямой перевод с греческого на латинский. Опубликован манускрипт из Люнибурга.

  2. Геометрия Аделарда составляет большой класс манускриптов, написанных разными аторами в разное время. Характерная черта- наличие доказательств, причем в лучших манускриптах доказательства предшествуют изложению. Стоит подчеркнуть, что доказательства отличаются способом выражения, но не математической сутью.

  3. Геометрия Кампано- комплекс рукописей XII-XV веков. В этой версии «Начала» весьма схожи с византийскими манускриптами и вполне могут рассматриваться как довольно точный перевод, засоренный арабскими терминами. Это издание представляет собой 15 книг, формулировки предложений близки к Adelard II, но доказательства следуют за изложением. В заглавии манускриптов обычно отождествлены Евклид, автор «Начал», и ученик Сократа философ Евклид Мегарский.

В XVI веке считалось, что Евклиду принадлежат лишь формулировки теорем, доказательства же были придуманы позже. Были распространены издания «Начал» без доказательств и издания, сравнивающие доказательства Компана и Замберти. Этот взгляд имел вполне твердую основу. В начале XVI века была издана геометрия Боэция, которая тоже являлась переводом «Начал» Евклида, но доказательств в этом издании не содержалось. Считалось также, что использование в доказательствах буквенных обозначений подразумевает знакомство с буквенной алгеброй. Это мнение было отвергнуто в XVII веке.

3.3 Русские переводы

Первое издание «Начал» на русском языке произошло в 1739 году, книга вышла в Петербурге под названием «Евклидовы элементы из двенадцати нефтоновых книг и восемь книг через професора математики Андрея Фархварсона. ». Немного позже вышли еще 2 перевода, также сокращенные до 8 книг:

  1. 1769 год: перевод Н.Г. Курганова «Евклидовы Елементы Геометрии»

  2. 1784 год: перевод П.И. Суворова и В.Н. Никитина «Евклидовых стихий восемь книг, а именно: первая, вторая, третья, четвертая, пятая, шестая, одиннадцатая и двенадцатая, к ним прилагаются книги тринадцатая и четырнадцатая. Переведены с греческого и поправлены. В Санкт-Петербурге, в типографии Морского шляхетного Кадетского корпуса». Перевели преподаватели указанного корпуса, магистры Оксфордского университета В.Н. Никитин и П.И. Суворов.

Последнее по времени полное академическое издание было опубликовано в 1949-1951 годах, перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай- Болтовского.

3.4 Тексты «Начал»

В сети доступны следующие манускрипт и печатные издания «Начал»:

  • Папирус из Oxyrhynchus.

  • Византийский манускрипт D’Orville 301, Bodleian Library, Oxford на www.rarebookroom.org и www.claymath.org (с перевода на английский).

  • Первое печатное издание «Начал» Евклида. Э. Ратольт, 1482г.

  • Издание 1558, в котором сравнивается издания Ратдольда и Замберти .

  • Евклидовых начал восемь книг в переводе Ф. Петрушевского. Книги 1-6, 11-12. (1819 г.).

  • Евклид: Джесси Рассел- Санкт- Петербург, Книга по Требованию, 2012г. -98 с.

  • Шервуд, Джеймс: Джесси Рассел- Санкт-Петербург, Книга по требованию, 2013г.-106 с.

Заключение

Подводя итог, можно говорить о том, что Евклид и его «Начала» имеют действительно огромное значение для науки. Систематизировав и обобщив прошлые достижения математиков, сделав свои открытия, Евклид создал фундаментальный труд, который стал важной частью современной математики и геометрии. И хотя нам практически ничего не известно о том, каким человеком был Евклид, и как проходила его научная деятельность, но результат этой деятельности, несомненно, вызывает восхищение и уважение. Евклид стал своего рода границей в науке, собрав в воедино научные достижения прошлого и дав сильный задел для развития исследований будущего. В честь него названы космический летательный аппарат для изучения геометрии темной материи, город в США, алгоритм для получения традиционного музыкального ритма и многие математические открытия более позднего времени.

Список литературы

  1. История математики / Под редакцией А.П. Юшкевича, в трех томах. –М.: Наука, 1970.

  2. Рыбников К. Русские издания «Начал» Евклида. Успехи математических наук 1941 г.

Древнегреческий математик Евклид: краткая биография, известные открытия

Предлагаем вам познакомиться с таким великим математиком, как Евклид. Биография, краткое содержание основного его труда и некоторые интересные факты об этом ученом представлены в нашей статье. Евклид (годы жизни – 365-300 до н. э.) – математик, относящийся к эллинской эпохе. Он работал в Александрии при Птолемее I Сотере. Существует две основных версии того, где он родился. Согласно первой — в Афинах, согласно второй – в Тире (Сирия).

Биография Евклида: интересные факты

О жизни этого ученого известно не так много. Имеется сообщение, принадлежащее Паппу Александрийскому. Этот человек был математиком, жившим во 2-й половине 3 века нашей эры. Он отметил, что интересующий нас ученый был любезен и мягок со всеми теми, кто хоть как-то мог способствовать развитию тех или иных математических наук.

Существует также легенда, которую сообщил Архимед. Ее главный герой — Евклид. Краткая биография для детей обычно включает эту легенду, так как она весьма любопытна и способна вызвать интерес к этому математику у юных читателей. В ней говорится о том, что царь Птолемей захотел изучить геометрию. Однако выяснилось, что сделать это непросто. Тогда царь призвал ученого Евклида и спросил у него, есть ли какой-либо легкий путь к постижению этой науки. Но Евклид ответил, что царской дороги к геометрии нет. Так это выражение, ставшее крылатым, дошло до нас в виде легенды.

В начале 3 века до н. э. основал Александрийский музей и Александрийскую библиотеку Евклид. Краткая биография и его открытия связаны с двумя этими заведениями, которые одновременно являлись и учебными центрами.

Евклид — ученик Платона

Этот ученый прошел через Академию, основанную Платоном (портрет его представлен ниже). Он усвоил главную философскую идею этого мыслителя, которая заключалась в том, что существует самостоятельный мир идей. Можно с уверенностью сказать, что Евклид, биография которого скупа подробностями, был платоником в философии. Такая установка укрепляла ученого в понимании того, что все то, что создано и изложено им в его «Началах», имеет вечное существование.

Интересующий нас мыслитель родился на 205 лет позже Пифагора, на 63 года – Платона, на 33 – Евдокса, на 19 – Аристотеля. Он познакомился с их философскими и математическими трудами либо самостоятельно, либо через посредников.

Связь «Начал» Евклида с трудами других ученых

Прокл Диадох, философ-неоплатоник (годы жизни – 412-485), автор комментариев к «Началам», высказал мысль о том, что в этом сочинении отражены космология Платона и «Пифагорейская доктрина…». В своем труде Евклид изложил теорию золотого сечения (книги 2-я, 6-я и 13-я) и правильных многогранников (книга 13-я). Являясь приверженцем платонизма, ученый понимал, что его «Начала» вносят вклад в космологию Платона и в представления, развитые его предшественниками, о числовой гармонии, которой характеризуется мироздание.

Не один Прокл Диадох ценил платоновы тела и золотое сечение. Иоганн Кеплер (годы жизни – 1571-1630) также интересовался ими. Этот немецкий астроном отметил, что в геометрии есть 2 сокровища – это золотое сечение (деление отрезка в среднем и крайнем отношении) и теорема Пифагора. Ценность последнего из них он сравнил с золотом, а первого – с драгоценным камнем. Иоганн Кеплер использовал платоновы тела в создании своей космологической гипотезы.

Значение «Начал»

Книга «Начала» – это основное сочинение, которое создал Евклид. Биография этого ученого, конечно, отмечена и другими работами, о которых мы расскажем в конце статьи. Следует заметить, что труды с названием «Начала», в которых изложены все важнейшие факты теоретической арифметики и геометрии, составлялись и его предшественниками. Один из них – Гиппократ Хиосский, математик, живший в 5 веке до н. э. Февдий (2-я половина 4 века до н. э.) и Леонт (4 век до н. э.) также написали книги с таким названием. Однако с появлением евклидовых «Начал» все эти труды оказались вытесненными из обихода. Книга Евклида была базовым учебным пособием по геометрии на протяжении более 2 тысяч лет. Ученый, создавая свой труд, использовал многие достижения его предшественников. Евклид обработал имеющуюся информацию и свел материал воедино.

В своей книге автор подвел итог развитию математики в Древней Греции и создал прочный фундамент для дальнейших открытий. В этом и состоит значение главного труда Евклида для мировой философии, математики и всей науки в целом. Неверно было бы полагать, что оно заключается в укреплении мистики Платона и Пифагора в их псевдомироздании.

Многие ученые оценили «Начала» Евклида, в том числе и Альберт Эйнштейн. Он отметил, что это удивительное произведение, давшее разуму человека уверенность в себе, необходимую для дальнейшей деятельности. Эйнштейн сказал, что тот человек, который не восхищался в молодости этим творением, не рожден для теоретических изысканий.

Аксиоматический метод

Следует отдельно отметить значение труда интересующего нас ученого в блестящей демонстрации аксиоматического метода в его «Началах». Этот метод в современной математике является самым серьезным из тех, которые используются для обоснования теорий. В механике он также находит широкое применение. Великий ученый Ньютон построил «Начала натуральной философии» по образцу труда, который создал Евклид.

Биография интересующего нас автора продолжается описанием основных положений его главного труда.

Основные положения «Начал»

В книге «Начала» систематически изложена евклидова геометрия. Ее система координат опирается на такие понятия, как плоскость, прямая, точка, движение. Отношения, которые используются в ней, следующие: «точка расположена на прямой, лежащей на плоскости» и «точка расположена между двумя другими точками».

Систему положений евклидовой геометрии, представленную в современном изложении, разбивают обычно на 5 групп аксиом: движения, порядка, непрерывности, сочетания и параллельности Евклида.

В тринадцати книгах «Начал» ученый представил и арифметику, стереометрию, планиметрию, отношения по Евдоксу. Следует отметить, что изложение в этом труде строго дедуктивно. Определениями начинается каждая книга Евклида, а в первой из них за ними следуют аксиомы и постулаты. Далее идут предложения, делящиеся на задачи (где необходимо что-либо построить) и теоремы (где нужно что-либо доказать).

Недостаток математики Евклида

Основной недостаток заключается в том, что аксиоматика этого ученого лишена полноты. Отсутствуют аксиомы движения, непрерывности и порядка. Поэтому ученому нередко приходилось доверять глазу, прибегать к интуиции. Книги 14-я и 15-я – это более поздние добавления к труду, автор которого — Евклид. Биография его имеется лишь очень краткая, поэтому нельзя точно сказать, были ли первые 13 книг созданы одним человеком или же являются плодом коллективного труда школы, которой руководил ученый.

Дальнейшее развитие науки

Появление евклидовой геометрии связано с возникновением наглядных представлений о мире, окружающем нас (лучи света, натянутые нити как иллюстрация прямых линий и т. п.). Далее они углублялись, благодаря чему возникло более абстрактное понимание такой науки, как геометрия. Н. И. Лобачевский (годы жизни – 1792-1856) – российский математик, сделавший важное открытие. Он отметил, что существует геометрия, которая отличается от евклидовой. Это изменило представления ученых о пространстве. Оказалось, что они отнюдь не априорны. Другими словами, геометрия, изложенная в «Началах» Евклида, не может считаться единственной описывающей свойства пространства, окружающего нас. Развитие естествознания (в первую очередь астрономии и физики) показало, что она описывает его структуру только с определенной точностью. Кроме того, ее нельзя применять для всего пространства в целом. Евклидова геометрия – это первое приближение к пониманию и описанию его структуры.

К слову сказать, судьба Лобачевского оказалась трагической. Он не был принят в научном мире за свои смелые мысли. Однако и борьба этого ученого не была напрасной. Торжество идей Лобачевского обеспечил Гаусс, переписка которого была опубликована в 1860 годы. В числе писем были и восторженные отзывы ученого о геометрии Лобачевского.

Другие труды Евклида

Очень большой интерес и в наше время представляет биография Евклида как ученого. В математике он сделал важные открытия. Это подтверждается тем, что с 1482 года книга «Начала» выдержала уже более пятисот изданий на различных языках мира. Однако биография математика Евклида отмечена созданием не только этой книги. Ему принадлежит ряд трудов по оптике, астрономии, логике, музыке. Один из них – книга «Данные», в которой описаны те условия, которые дают возможность считать «данным» тот или иной математический максимальный образ. Другой труд Евклида – книга по оптике, в которой содержатся сведения о перспективе. Интересующий нас ученый написал сочинение и по катоптрике (он изложил в этом труде теорию искажений, возникающих в зеркалах). Известна и книга Евклида под названием «Деление фигур». Работа по математике «О ложных заключениях», к сожалению, не сохранилась.

Итак, вы познакомились с таким великим ученым, как Евклид. Краткая биография его, надеемся, оказалась вам полезной.

Евклид / math5school.ru

3 в. до н.э.

 

 Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым.
Число же – множество, составленное из единиц.

Евклид

 

Труд Евклида будет жить еще долго после того,
как все учебники наших дней будут заменены другими и забыты.

Томас Л. Хизс

 

Евклид (Эвклид) (3 век до нашей эры) – древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике.

О жизни этого учёного почти ничего не известно. До нас дошли только отдельные легенды о нём. Первый комментатор «Начал» Прокл (V век нашей эры) не мог указать, где и когда родился и умер Евклид. По Проклу, «этот учёный муж» жил в эпоху царствования Птолемея I. Некоторые биографические данные сохранились на страницах арабской рукописи XII века: «Евклид, сын Наукрата, известный под именем „Геометра“, учёный старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира».

Одна из легенд рассказывает, что царь Птолемей решил изучить геометрию. Но оказалось, что сделать это не так-то просто. Тогда он призвал Евклида и попросил указать ему лёгкий путь к математике. «К геометрии нет царской дороги», – ответил ему учёный. Так в виде легенды дошло до нас это ставшее крылатым выражение.

Царь Птолемей I, чтобы возвеличить своё государство, привлекал в страну учёных и поэтов, создав для них храм муз – Мусейон. Здесь были залы для занятий, ботанический и зоологический сады, астрономический кабинет, астрономическая башня, комнаты для уединённой работы и главное – великолепная библиотека. В числе приглашённых учёных оказался и Евклид, который основал в Александрии – столице Египта – математическую школу и написал для её учеников свой фундаментальный труд.

Именно в Александрии Евклид основывает математическую школу и пишет большой труд по геометрии, объединённый под общим названием «Начала» – главный труд своей жизни. Полагают, что он был написан около 325 года до нашей эры.

Предшественники Евклида – Фалес, Пифагор, Аристотель и другие много сделали для развития геометрии. Но всё это были отдельные фрагменты, а не единая логическая схема.

Как современников, так и последователей Евклида привлекала систематичность и логичность изложенных сведений. «Начала» состоят из тринадцати книг, построенных по единой логической схеме. Каждая из тринадцати книг начинается определением понятий (точка, линия, плоскость, фигура и т. д.), которые в ней используются, а затем на основе небольшого числа основных положений (5 аксиом и 5 постулатов), принимаемых без доказательства, строится вся система геометрии.

В то время развитие науки и не предполагало наличия методов практической математики. Первые четыре книги «Начал» посвящены геометрии на плоскости, и в них изучаются основные свойства прямолинейных фигур и окружностей.

Книге I предпосланы определения понятий, используемых в дальнейшем. Они носят интуитивный характер, поскольку определены в терминах физической реальности: «Точка есть то, что не имеет частей». «Линия же — длина без ширины». «Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению точкам на ней». «Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину» и т.д.

За этими определениями следуют пять постулатов: «Допустим:

1) что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию;

2) и что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой;

3) и что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг;

4) и что все прямые углы равны между собой;

5) и если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».

Три первых постулата обеспечивают существование прямой и окружности. Пятый, так называемый постулат о параллельных – самый знаменитый. Он всегда интриговал математиков, которые пытались вывести его из четырех предыдущих или вообще отбросить, до тех пор, когда в XIX в. обнаружилось, что можно построить другие, неевклидовы геометрии и что пятый постулат имеет право на существование. Затем Евклид сформулировал аксиомы, которые в противоположность постулатам, справедливым только для геометрии, применимы вообще ко всем наукам. Далее Евклид доказывает в книге I элементарные свойства треугольников, среди которых – условия равенства. Затем описываются некоторые геометрические построения, такие, как построение биссектрисы угла, середины отрезка и перпендикуляра к прямой. В книгу I включены также теория параллельных и вычисление площадей некоторых плоских фигур (треугольников, параллелограммов и квадратов). В книге II заложены основы так называемой геометрической алгебры, восходящей к школе Пифагора. Все величины в ней представлены геометрически, и операции над числами выполняются геометрически. Числа заменены отрезками прямой. Книга III целиком посвящена геометрии окружности, а в книге IV изучаются правильные многоугольники, вписанные в окружность, а также описанные вокруг нее.

Теория пропорций, разработанная в книге V, одинаково хорошо прилагалась и к соизмеримым величинам и к несоизмеримым величинам. Евклид включал в понятие «величины» длины, площади, объемы, веса, углы, временные интервалы и т.д. Отказавшись использовать геометрическую очевидность, но избегая также обращения к арифметике, он не приписывал величинам численных значений. Первые определения книги V «Начал» Евклида: 1. Часть есть величина (от) величины, меньшая (от) большей, если она измеряет большую. 2. Кратное же – большая (от) меньшей, если она измеряется меньшей. 3. Отношение есть некоторая зависимость двух однородных величин по количеству. 4. Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга. 5. Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке. 6. Величины же, имеющие то же отношение, пусть называются пропорциональными. Из восемнадцати определений, помещенных в начале всей книги, и общих понятий, сформулированных в книге I, с восхитительным изяществом и почти без логических недочетов Евклид вывел (не прибегая к постулатам, содержание которых было геометрическим) двадцать теорем, в которых устанавливались свойства величин и их отношений.

В книге VI теория пропорций книги V применяется к прямолинейным фигурам, к геометрии на плоскости и, в частности, к подобным фигурам, причем «подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют углы, равные по порядку, и стороны при равных углах пропорциональные». Книги VII ,VIII и IX составляют трактат по теории чисел; теория пропорций в них прилагается к числам. В книге VII определяется равенство отношений целых чисел, или, с современной точки зрения, строится теория рациональных чисел. Из многих свойств чисел, исследованных Евклидом (четность, делимость и т.д.), приведем, например, предложение 20 книги IX, устанавливающее существование бесконечного множества «первых», т.е. простых чисел: «Первых чисел существует больше всякого предложенного количества первых чисел». Его доказательство от противного до сих пор можно найти в учебниках по алгебре.

Книга X читается с трудом; она содержит классификацию квадратичных иррациональных величин, которые там представлены геометрически прямыми и прямоугольниками. Вот как сформулировано предложение 1 в книге X «Начал» Евклида: «Если заданы две неравные величины и из большей вычитается часть, большая половины, а из остатка – снова часть, большая половины, и это повторяется постоянно, то когда-нибудь остается величина, которая меньше, чем меньшая из данных величин». На современном языке: Если a и b – положительные вещественные числа и a > b, то всегда существует такое натуральное число m, что mb > a. Эвклид доказал справедливость геометрических преобразований. 

Книга XI посвящена стереометрии. В книге XII, которая также восходит, вероятно, к Евдоксу, с помощью Метода исчерпывания площади криволинейных фигур сравниваются с площадями многоугольников. Предметом книги XIII является построение правильных многогранников. Построение Платоновых тел, которым, по-видимому завершаются «Начала», дало основание причислить Евклида к последователям философии Платона.

«Начала» Евклида представляют собой изложение той геометрии, которая известна и поныне под названием евклидовой геометрии. Она описывает метрические свойства пространства, которое современная наука называет евклидовым пространством. Евклидово пространство является ареной физических явлений классической физики, основы которой были заложены Галилеем и Ньютоном. Это пространство пустое, безграничное, изотропное, имеющее три измерения. Евклид придал математическую определённость атомистической идее пустого пространства, в котором движутся атомы. Простейшим геометрическим объектом у Евклида является точка, которую он определяет как то, что не имеет частей. Другими словами, точка – это неделимый атом пространства.

Бесконечность пространства характеризуется тремя постулатами:

«От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию». «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой». «Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг».

Учение о параллельных и знаменитый пятый постулат («Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых») определяют свойства евклидова пространства и его геометрию, отличную от неевклидовых геометрий.

Обычно о «Началах» говорят, что после Библии это самый популярный написанный памятник древности. Книга имеет свою, весьма примечательную историю. В течение двух тысяч лет она являлась настольной книгой школьников, использовалась как начальный курс геометрии. «Начала» пользовались исключительной популярностью, и с них было снято множество копий трудолюбивыми писцами в разных городах и странах. Позднее «Начала» с папируса перешли на пергамент, а затем на бумагу. На протяжении четырёх столетий «Начала» публиковались 2500 раз: в среднем выходило ежегодно 6–7 изданий. До XX века книга считалась основным учебником по геометрии не только для школ, но и для университетов.

«Начала» Евклида были основательно изучены арабами, а позднее европейскими учёными. Они были переведены на основные мировые языки. Первые подлинники были напечатаны в 1533 году в Базеле. Любопытно, что первый перевод на английский язык, относящийся к 1570 году, был сделан Генри Биллингвеем, лондонским купцом.

Евклиду принадлежат частично сохранившиеся, частично реконструированные в дальнейшем математические сочинения. Именно он ввёл алгоритм для получения наибольшего общего делителя двух произвольно взятых натуральных чисел и алгоритм, названный «решетом Эратосфена», – для нахождения простых чисел до данного числа.

Евклид заложил основы геометрической оптики, изложенные им в сочинениях «Оптика» и «Катоптрика». Основное понятие геометрической оптики – прямолинейный световой луч. Евклид утверждал, что световой луч исходит из глаза (теория зрительных лучей), что для геометрических построений не имеет существенного значения. Он знает закон отражения и фокусирующее действие вогнутого сферического зеркала, хотя точного положения фокуса определить ещё не может. Во всяком случае в истории физики имя Евклида как основателя геометрической оптики заняло надлежащее место.

У Евклида мы встречаем также описание монохорда – однострунного прибора для определения высоты тона струны и её частей. Полагают, что монохорд придумал Пифагор, а Евклид только описал его («Деление канона», III век до нашей эры).

Евклид со свойственной ему страстью занялся числительной системой интервальных соотношений. Изобретение монохорда имело значение для развития музыки. Постепенно вместо одной струны стали использоваться две или три. Так было положено начало созданию клавишных инструментов, сначала клавесина, потом пианино. А первопричиной появления этих музыкальных инструментов стала математика.

Конечно, все особенности евклидова пространства были открыты не сразу, а в результате многовековой работы научной мысли, но отправным пунктом этой работы послужили «Начала» Евклида. Знание основ евклидовой геометрии является ныне необходимым элементом общего образования во всём мире.

Имя Евклида носят следующие математические объекты:

  • алгоритм Евклида
  • теорема Евклида
  • евклидова геометрия
  • евклидово кольцо
  • евклидово пространство.

 

По материалам книги Д. Самина «100 великих учёных» и сайта univer.omsk.su.

 

Евклид — Биография, факты и картинки

Жил с. 325 — ок. 270 г. до н.э.

Евклид является автором « Элементов », самой известной и наиболее публикуемой математической работы в истории. Elements посвящен в основном геометрии, пропорциям и теории чисел. Оказывая огромное влияние на преподавание математики на протяжении более двух тысяч лет, Elements дали искру, которая вдохновила многих величайших математиков и ученых мира отправиться в свои замечательные интеллектуальные путешествия.

Евклид также известен другой чрезвычайно влиятельной книгой, Оптика , в которой он объяснил поведение света, используя геометрические принципы, которые он разработал в Элементах . Его теория света была основой художественной перспективы, астрономических методов и методов навигации более двух тысяч лет.

Объявления

Историческое введение:

Мало что известно о Евклиде лично, и мы не знаем, как он выглядел.Он родился примерно в 325 г. до н.э., вероятно, получил образование в школе Платона в Афинах и преподавал математику в Александрии, большом новом городе торговли и науки, построенном в Египте по приказу Александра Македонского при жизни Евклида.

Александр построил свой город в стратегическом месте, где река Нил впадает в Средиземное море.

Евклид, вероятно, дожил до строительства Александрийского маяка Фарос — одного из семи чудес древнего мира.Изображение Эмада Виктора Шенуды.

Жизнь избранных древнегреческих ученых и философов

Прокл, математик и философ 5-го века нашей эры, говорит нам, что Евклид жил во времена Птолемея I (323–285 гг. до н. э.) и написал « Элементов» , в которых использовались многие теоремы Евдокса и усовершенствовались многие концепции Теэтета. Прокл также заявил, что Элементов подтверждают концепции, которые были лишь приблизительно установлены предшественниками Евклида.

Прокл рассказывает нам, что, когда Птолемей I, который предположительно считал геометрию тяжелой работой, спросил, есть ли более короткий путь к изучению геометрии, чем «Начала» Евклида, Евклид ответил ему:

«В геометрии нет царской дороги».

Серен Антинуплисский через Иоанна Стобеуса сообщает нам, что, когда студент спросил Евклида, что он может получить от изучения геометрии, Евклид сказал слуге:

«Дайте ему три пенса, и тогда он что-нибудь выиграет.

Элементы Евклида

«Элементы Евклида» — это шедевр, гениальное произведение, важность которого для интеллектуального развития нашего вида трудно переоценить. Он вдохновлял древних греков, таких как Архимед; персы, такие как Омар Хайям; а после эпохи Возрождения тысячи отдельных ученых, таких как Николай Коперник, Галилео Галилей, Исаак Ньютон, Джеймс Клерк Максвелл, Альберт Эйнштейн и Томас Голд.

Работая в Александрии, Евклид собрал математические доказательства пифагорейцев, Евдокса и других более ранних греческих математиков, усилил логическую строгость в тех местах, где она была слаба, добавил свои собственные доказательства и создал произведение ошеломляющей интеллектуальной силы.

Евклида не интересовало решение мирских математических задач, например, сколько черепицы нужно, чтобы покрыть крышу. Его целью было открыть вечные, универсальные истины. Единственными инструментами, которые он позволял себе, были линейка и компас.

Начав с нескольких самоочевидных принципов, таких как равенство всех прямых углов, Евклид вывел и доказал большое количество все более сложных математических теорем, поместив их в «Элементов» 13 книг.

Elements имеет дело с тремя областями: геометрия в двух измерениях; теория чисел; и геометрия в трех измерениях.

Он включает необычайно красивое доказательство того, что существует бесконечно много простых чисел.

Он также включает в себя первый нетривиальный математический алгоритм, возможно, разработанный последователями Пифагора, который Евклид использует для вычисления наибольшего общего делителя двух чисел.

Папирус на греческом языке — папирус Оксиринха — примерно 100 г. н.э. — один из старейших известных фрагментов «Начал» Евклида.

После того, как Иоганн Гутенберг в 1450 году ввел печать подвижными литерами, « Элементов » Евклида, впервые напечатанные в 1482 году, уступают только Библии по количеству выпущенных изданий.

Элементы

Элементы — самая известная работа Евклида. Книга логически разделена на тринадцать книг, так что ее можно легко использовать в качестве справочника.

В Книге 1 Евклид перечисляет двадцать три определения, пять постулатов (или правил) и пять общих понятий (предположений) и использует их в качестве строительных блоков; из них выводятся все остальные доказательства и теоремы. Например, первый постулат утверждает, что можно провести прямую линию между любыми двумя точками.

  • Книга 1 доказывает элементарные теоремы плоской геометрии.
  • Книга 2 посвящена геометрической алгебре.
  • Книга 3 исследует свойства кругов, и считается, что эта книга является работой Пифагора и его последователей.
  • Книга 4 касается построения правильных многоугольников, в частности пятиугольника.
  • Книга 5 устанавливает арифметическую теорию пропорций и отношений и является работой Евдокса.
  • Книга 6 применяет теорию отношений из Книги 5 к планиметрии.
  • Книга 7 посвящена элементарной теории чисел, включая простые числа, и содержит алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел.
  • Книга 8 рассматривает геометрические ряды.
  • Книга 9 касается применения результатов из Книг 7 и 8.
  • Книга 10 посвящена теории иррациональных чисел и в основном является работой Теэтета и содержит его «метод исчерпывания».
  • Книга 11 исследует трехмерную геометрию, давая основные определения.
  • Книга 12 продолжает трехмерную геометрию, вычисляя относительные объемы конусов, пирамид, цилиндров и сфер с использованием «метода исчерпывания», изобретенного Евдоксом.
  • Книга 13 исследует пять платоновых тел (пирамида, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр) в данной сфере на основе работы Теэтета.

Быстрое и простое доказательство того, что √2 иррационально

Оптика Евклида

« Оптика » Евклида оказала огромное влияние на свет и зрение. Евклид объяснил поведение света, используя геометрические принципы, которые он разработал в Элементах . Его теория света была основой художественной перспективы, астрономических методов и методов навигации более двух тысяч лет.

Евклид рассмотрел геометрическое поведение световых лучей. Он ошибся в одном важном моменте — он принял общепринятое мнение греков о том, что мы видим вещи, потому что наши глаза испускают лучи, а не принимают их. Тем не менее, теория света Евклида прекрасно работает, потому что, как видно на изображении ниже, важна именно геометрия, а не то, попадает ли луч в глаз или выходит из него.

Одна из геометрических диаграмм Евклида из Оптика . Используя аргументы, основанные на этой диаграмме, Евклид устанавливает, что при взгляде из разных мест объекты одинаковой высоты на плоской плоскости могут казаться разной высоты.

Другие вклады и достижения:

Сохранились еще четыре произведения Евклида:

  • Данные , работа по геометрическим задачам.
  • О делении фигур , которое касается деления геометрических фигур на две или более равные части или на различные соотношения.
  • Catoptrics , в котором исследуется математическая теория зеркал, особенно изображений, образованных плоскими и сферическими вогнутыми зеркалами.
  • Phaenomena , трактат по сферической астрономии.

Латинский перевод Элементов был сделан около 1120 г. н.э. английским монахом Аделардом Батским, который приобрел копию арабской версии в Испании, а первый полный английский перевод Элементов был сделан в 1570 г. купцом. Сэр Генри Биллингсли.

Растущее развитие естественных наук и математики в 18-м и 19-м веках обеспечило Евклиду важное место в учебных программах школ и университетов во всем западном мире.

Объявления

Автор этой страницы: The Doc
© Все права защищены.

Цитировать эту страницу

Пожалуйста, используйте следующую ссылку в соответствии с MLA:

 "Евклид".  Известные ученые. Сайт известных ученых. 24 июня 2018 г.Веб.
. 

Опубликовано FamousScientists.org

Биография Евклида | Биография онлайн

Евклид (ок. 325 г. до н.э. – 265 г. до н.э.) – греческий математик, считающийся «отцом геометрии». Его учебник «Элементы» оставался очень влиятельным учебником по математике до конца 19 века и является одной из самых широко издаваемых книг в мире. Она оказала неизгладимое влияние на науки, особенно на математику. В списке Майкла Х.Хаст — Евклид считается 14-м самым влиятельным человеком в истории.

Евклид родился в середине 4 века до н.э. и жил в Александрии; он был в основном активен во время правления Птолемея I (323-283 гг. до н.э.). Его имя Евклид означает «известный, славный» — его также называют Евклидом Александрийским.

Подробности о жизни Евклида скудны – основная биографическая информация была написана лишь много веков спустя, т.е. Прокл ок. 450 г. н.э. Прокл пишет о Евклиде:

«Ненамного моложе этих [учеников Платона] Евклид, который составил «Начала», упорядочив многие теоремы Евдокса, усовершенствовав многие теоремы Теэтета, а также доведя до неопровержимого доказательства вещи, которые были лишь приблизительно доказаны его предшественниками. Этот человек жил во времена первого Птолемея; ибо Архимед, который внимательно следил за первым Птолемеем, упоминает Евклида, и далее они говорят, что Птолемей однажды спросил его, есть ли кратчайший путь для изучения геометрии, чем Элементы, на что он ответил, что нет царственной дороги к геометрии. ”

Вероятно, Евклид работал с командой математиков в Александрии и получил некоторую помощь в своих математических работах. Некоторые историки считают, что работы Евклида могли быть написаны несколькими авторами, но большинство согласны с тем, что один человек — Евклид — был основным автором.

Вполне вероятно, что Евклид учился в Академии Платона в Афинах, и большая часть его начальных знаний исходила из этой точки зрения Платона. В частности, Евклид многому научился у Евдокса по геометрии.

Другой более поздний историк – Папп пишет о Евклиде (в 320 г. н.э.), что Евклид имел хороший характер, заявляя, что Евклид был:

«… самым справедливым и благожелательным ко всем, кто был способен в какой-либо мере продвигать математику». , осторожный, чтобы не обидеть, и хотя точный ученый, не хвастающийся.

Хотя о личной жизни Евклида достоверно известно немного, его главная книга « Элементы» (первоначально написанная на древнегреческом языке) стала эталоном важных математических учений. Она разделена на 13 книг.

  • Книги с первой по шестую посвящены планиметрии.
  • Книги с седьмой по девятую посвящены теории чисел.
  • Книга восьмая посвящена геометрической прогрессии.
  • Книга десятая посвящена иррациональным числам, а
  • Книги с одиннадцатой по тринадцатую посвящены трехмерной геометрии.

Гений Евклида заключался в том, что он взял в оборот множество различных элементов математических идей и объединил их в один логичный, связный формат.

Элементы Евклида из Уэстонской библиотеки Оксфорда

Некоторые из наиболее влиятельных аспектов Евклида включают

  • Его работу о простых числах два числа, оно должно делиться хотя бы на одно из этих чисел.
  • Основная теорема арифметики или теорема об уникальной простой факторизации. Используя лемму Евклида, эта теорема утверждает, что каждое целое число больше единицы либо само является простым числом, либо произведением простых чисел, и что существует определенный порядок простых чисел.

«Если два числа, умноженные друг на друга, образуют некоторое число, и любое простое число измеряет произведение, оно также будет измерять одно из исходных чисел».

— Евклид, Элементы, Книга VII, Предложение 30

  • Алгоритм Евклида — эффективный метод вычисления наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел, наибольшего числа, которое делит их оба без остатка.
  • Геометрия. Евклид описал систему геометрии, связанную с формой, относительным расположением и свойствами пространства. Именно Евклид придал геометрии аксиоматические формы (логически выведенные теоремы). Его работа известна как евклидова геометрия.

Иногда говорят, что после Библии « Элементов » могут быть наиболее переведенными, изданными и изученными из всех книг, выпущенных в западном мире.

Некоторые утверждают, что « Элементы » Евклида может быть второй наиболее издаваемой, переведенной и изученной из всех книг после Библии.

Помимо влиятельных «Элементов», Евклид исследовал и другие разделы математики.

Оптика – Евклид исследовал видимый размер объекта по сравнению с расстоянием до него от глаза. Предложение 45 гласило, что для объектов любых двух неравных размеров существует точка, из которой они кажутся равными.

Феномены – Работа по сферической геометрии – наблюдение объектов в пространстве и использование геометрии для создания измерений

Разделение фигур – Разделение фигур на более составные части.

Данные – Просмотр данной информации из геометрических задач.

Образец цитирования: Петтингер, Теджван. «Биография Евклида», Оксфорд, Великобритания. www.biographyonline.net Опубликовано 24 марта 2015. Последнее обновление 8 марта 2015.

Элементы Евклида

Элементы Евклида на Amazon

Древние греки (8 век до н.э. до 0 г. н.э.) Известные люди классического греческого периода.Поэты, государственные деятели и предшественники демократии.

Ученые – Известные ученые от Аристотеля и Архимеда до Альберта Эйнштейна и Чарльза Дарвина.

Писатели/авторы – Известные авторы. Дж.Р.Р. Толкин, Уильям Шекспир, Лев Толстой, Джон Стейнбек и Эрнест Хемингуэй.

Внешние ссылки

Евклид — Энциклопедия всемирной истории

Евклид Александрийский (жил около 300 г. до н.э.) систематизировал древнегреческую и ближневосточную математику и геометрию.Он написал The Elements , самый широко используемый учебник по математике и геометрии в истории. В старых книгах его иногда путают с Евклидом Мегарским. Современную экономику называют «серией сносок к Адаму Смиту», автору книги «Богатство народов » (1776 г. н.э.). Точно так же большая часть западной математики была серией сносок к Евклиду, либо развивая его идеи, либо подвергая их сомнению.

ЖИЗНЬ ЕВКЛИДА

О жизни Евклида почти ничего не известно.Около 300 г. до н.э. он руководил собственной школой в Александрии, Египет. Мы не знаем ни лет, ни мест его рождения и смерти. Кажется, он написал около дюжины книг, большинство из которых сейчас утеряны.

Философ Прокл из Афин (412–485 гг. н. э.), живший семь столетий спустя, сказал, что Евклид «собрал воедино элементы, собрав многие теоремы Евдокса, усовершенствовав многие теоремы Теэтета и доведя до неопровержимой демонстрации то, доказано его предшественниками.Ученый Стобей жил примерно в то же время, что и Прокл. Он собирал греческие рукописи, которым грозила опасность быть утерянными. Он рассказал историю о Евклиде, имеющую оттенок правды:

Кто-то, кто начал [изучать] геометрию, спросил Евклида: «Что я получу, изучая эти вещи?» Евклид позвал своего раба и сказал: «Дайте ему [денег], так как он должен извлечь выгоду из того, что узнает».

(Хит, 1981, местонахождение 8625)

ГЕОМЕТРИЯ ДО ЕВКЛИДА

В Элементах Евклид собрал, систематизировал и доказал геометрические идеи, которые уже использовались в качестве прикладных методов.За исключением Евклида и некоторых его греческих предшественников, таких как Фалес (624–548 гг. до н. э.), Гиппократ (470–410 гг. почему идеи были верны или применимы ли они вообще. Фалес даже стал знаменитостью в Египте, потому что он мог видеть математические принципы, лежащие в основе правил для конкретных задач, а затем применять эти принципы к другим задачам, таким как определение высоты пирамид.

Древние египтяне многое знали о геометрии, но только как прикладные методы, основанные на проверке и опыте.Например, чтобы вычислить площадь круга, они сделали квадрат, стороны которого составляли восемь девятых длины диаметра круга. Площадь квадрата была настолько близка к площади круга, что они не могли обнаружить никакой разницы. Их метод подразумевает, что число пи имеет значение 3,16, что немного отличается от его истинного значения 3,14. .. но достаточно близко для простой инженерной мысли. Большая часть того, что мы знаем о древнеегипетской математике, исходит из папируса Райнда, обнаруженного в середине 19 века н.э. и ныне хранящегося в Британском музее.

Древние вавилоняне также знали много прикладной математики, в том числе теорему Пифагора. Во время археологических раскопок в Ниневии были обнаружены глиняные таблички с тройками чисел, удовлетворяющими теореме Пифагора, такими как 3-4-5, 5-12-13, и со значительно большими числами. По состоянию на 2006 г. н.э. было расшифровано 960 табличек.

История любви?

Подпишитесь на нашу бесплатную еженедельную рассылку по электронной почте!

Первая английская версия «Элементов Евклида», 1570

Charles Thomas-Stanford (общественное достояние)

ЭЛЕМЕНТЫ

Евклид не был автором большинства идей в Элементах .Его вклад был четырехкратным:

  • Он собрал важные математические и геометрические знания в одной книге. «Начала» — это учебник, а не справочник, поэтому он не охватывает всего, что было известно.
  • Он дал определения, постулаты и аксиомы. Он называл аксиомы «общепринятыми понятиями».
  • Он представил геометрию как аксиоматическую систему: каждое утверждение было либо аксиомой, либо постулатом, либо доказывалось четкими логическими шагами из аксиом и постулатов.
  • Он сделал некоторые из своих собственных оригинальных открытий, таких как первое известное доказательство того, что существует бесконечно много простых чисел.

Элементы состоят из 13 глав (часто называемых «книгами»), разделенных на три основных раздела:

Главы 1-6: Планиметрия.
Главы 7-10: Арифметика и теория чисел.
Главы 11-13: Объемная геометрия.

Каждая глава начинается с определений. Глава 1 также включает постулаты и «общие понятия» (аксиомы). Примеры:

Определение: «Точка — это то, что не имеет частей. »
Постулат: «Провести прямую линию из любой точки в любую точку» (Это способ Евклида сказать, что прямые линии существуют). .»

Если идеи кажутся очевидными, то дело в этом. Евклид хотел основывать свою геометрию на идеях настолько очевидных, что никто не мог в них сомневаться. Из своих определений, постулатов и общих понятий Евклид выводит остальную часть геометрии. Его геометрия описывает обычное пространство, которое мы видим вокруг себя.Современные «неевклидовы» геометрии описывают пространство на астрономических расстояниях, на околосветовых скоростях или искривленное гравитацией.

Фрагмент «Элементов Евклида»

Джитсе Нисен (CC BY)

ДРУГИЕ РАБОТЫ ЕВКЛИДА

Около половины работ Евклида утеряны. Мы знаем о них только потому, что на них ссылаются другие древние авторы. Утерянные работы включают книги о конических сечениях, логических ошибках и «поризмах». Мы не уверены, что такое поризмы. Работы Евклида, которые все еще существуют: Элементы , Данные , Разделение фигур , Явления и Оптика . В своей книге об оптике Евклид отстаивал ту же теорию зрения, что и христианский философ св. Августин.

ВЛИЯНИЕ ЕВКЛИДА

С древних времен до конца 19 века н.э. люди считали Элементы прекрасным примером правильного мышления. Было опубликовано более тысячи изданий, что сделало ее одной из самых популярных книг после Библии. Голландский философ 17-го века н.э. Барух де Спиноза смоделировал свою книгу «Этика » на основе «Элементов », используя тот же формат определений, постулатов, аксиом и доказательств.В 20 веке австрийский экономист Людвиг фон Мизес использовал аксиоматический метод Евклида, чтобы написать об экономике в своей книге Human Action .

Перед публикацией эта статья прошла проверку на точность, надежность и соответствие академическим стандартам.

Биография Евклида — Детство, жизненные достижения и хронология

Краткие факты

Родился: 330 г. до н.э.

Умер в возрасте: 70 лет

Родился: Александрия

Известный как: математик — евклидова геометрия, элементы Евклида и алгоритм Евклида

Цитаты Евклида Математики

Дата смерти: 260 г. до н.э.

Место смерти: Северная Америка

Дополнительные факты

образование: Академия Платона, Афины, Греция

Рекомендуемые списки:

Рекомендуемые списки:

Кем был Евклид?

Евклид был великим греческим математиком.Хотя мало что известно о его ранней и личной жизни, он внес большой вклад в область математики и стал известен как «отец геометрии». Известно, что Евклид преподавал математику в Древнем Египте во время правления Птолемея I. Он написал «Элементы», наиболее влиятельную математическую работу всех времен, которая служила основным учебником для преподавания математики с момента ее публикации до конца 19 или начала 20 века. Элементы вызывали интерес западного мира и математиков всего мира более 2000 лет.Евклид использовал «синтетический подход» для создания своих теорем, определений и аксиом. Помимо того, что он был наставником в Александрийской библиотеке, Евклид придумал и структурировал различные элементы математики, такие как поризмы, геометрические системы, бесконечные значения, факторизации и конгруэнтность форм, которые впоследствии составили контуры евклидовой геометрии. На его работы сильно повлияли Пифагор, Аристотель, Евдокс и Фалес.

Рекомендуемые списки:

Рекомендуемые списки:

Изображение предоставлено

http://лаурайснайдер.com/2013/02/обзор-король-бесконечного-пространства/

Изображение предоставлено

http://likesuccess.com/author/euclid

Изображение предоставлено

Euclid

Изображение предоставлено

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Euklid-von-Alexandria_1.jpg
(см. страницу автора/общественное достояние)

Предыдущий Следующий Рекомендуемые списки:

Рекомендуемые списки:

Детство и молодость

О Евклиде имеется очень мало информации, но предполагается, что он родился около 330 г. до н.э.С в Тире. Судя по сообщениям некоторых арабских авторов, он происходил из богатой среды. Его отцом был Навкрат, а дедом — Зенарх.

Говорят, что он был греком, родился в Тире и всю жизнь жил в Дамаске. Однако нет определенных доказательств того, что он был тем же человеком, что и Евклида Александрийского, которого часто путают с Евклидом Мегарским, другим человеком, который был философом и жил во времена Платона.

Поскольку отсутствие биографических сведений довольно необычно для этого периода, многие исследователи полагают, что Евклида, возможно, вообще не существовало, а на самом деле его работы могли быть написаны группой математиков, взявших себе имя Евклид.Но эта гипотеза снова отвергается учеными, ссылаясь на отсутствие веских доказательств.

Говорят также, что он учился в древней школе Платона в Афинах, месте, предназначенном только для состоятельных людей. Математическое образование он получил от учеников Платона.

Продолжить чтение Ниже

Вам может понравиться

Карьера

«Элементы» Евклида считается одной из самых влиятельных работ в истории математики с момента ее публикации до конца 19 или начала 20 века. Он фактически служил основным учебником для преподавания математики в этот период.

В своих «Элементах» он вывел принципы «евклидовой геометрии» из небольшого набора аксиом. Евклид также написал работы по перспективе, коническим сечениям, сферической геометрии, теории чисел и строгости.

Помимо самого известного его произведения «Элементы», до наших дней дошло не менее пяти произведений Евклида. Кажется, что они следуют той же логической структуре, что и в «Элементах». Это «Данные», «О делении фигур», «Катоптрика», «Феномен» и «Оптика».

В дополнение к вышеупомянутым работам есть несколько других работ, которые приписываются Евклиду, но были утеряны. К таким работам относятся «Коники», «Псевдарии», «Поризмы», «Поверхностные локусы» и «О тяжелом и легком».

Элементы Евклида

«Элементы» — математический и геометрический трактат, состоящий из 13 книг, написанных этим великим древнегреческим математиком в Александрии, Птолемеевском Египте ок. 300 г. до н.э.

«Начала» Евклида — это собрание определений, постулатов, теорем и построений, а также математических доказательств предложений.Все 13 книг охватывают евклидову геометрию и древнегреческую элементарную теорию чисел.

Он также включает в себя геометрическую алгебру, которая помогает в решении многих алгебраических задач, включая задачу нахождения квадратного корня из числа.

«Начала» — второй из старейших греческих математических трактатов после «О движущейся сфере» Автолика, который сыграл важную роль в развитии логики и современной науки.

Продолжить чтение ниже

Впервые напечатанная в 1482 году в Венеции, «Элементы» — одна из самых ранних математических работ, напечатанных после изобретения печатного станка.

Он считается самым успешным и влиятельным учебником из когда-либо написанных и уступает только Библии по количеству выпущенных изданий. Говорят, что с момента появления книгопечатания было выпущено более 1000 изданий «Элементов».

Другие работы

«Элементы» были самой известной работой Евклида и продолжают оказывать влияние на математику даже по сей день, но он также написал ряд других книг. До наших дней дошло не менее 5 произведений Евклида.

Данные: Эта книга содержит 94 предложения и в основном имеет дело с природой и последствиями «данной» информации в геометрических задачах.

О делениях фигур: Еще одна важная работа Евклида, но сохранившаяся лишь частично в арабском переводе. Это напоминает работу (3 век) «Герона Александрийского»

Катоптрика: Это еще одна важная работа, связанная с математической теорией зеркал. Однако Дж. Дж. О’Коннор и Э. Ф. Робертсон считают настоящим автором «Теона Александрийского».

Явления: проливает свет на сферическую астрономию. Он поразительно похож на «О движущейся сфере» Автолика из Питана, творившего около 310 г. до н.э.

Оптика: Эта работа делится знаниями о теории перспективы и является самым ранним сохранившимся греческим трактатом о перспективе.

Помимо пяти вышеупомянутых сохранившихся работ, есть еще несколько работ, приписываемых Евклиду, но утерянных. Это «Коники», «Поризмы», «Псевдарии» и «Поверхностные локусы».Кроме того, различные арабские источники считают Евклида автором ряда работ по механике.

Продолжить чтение ниже

Личная жизнь и наследие

Существует не так много информации и записей, касающихся личной жизни Евклида, но историки считают, что он умер около 260 г. до н.э.

Его самая известная книга «Элемент» была в конечном итоге переведена с арабского на латынь Кампанусом. Первое печатное дополнение появилось в 1482 году в Венеции.

В 1570 году Джон Ди перевел «Элемент» на английский язык. Лекции Ди смогли возродить интерес к математике в Англии.

Итальянский математик Джироламо Саккери в 1733 году годами пытался превзойти работы Евклида, но его попытки опровергнуть их оказались тщетными, так как он не смог найти ни единого изъяна в теориях Евклида. В конце концов, он сдался и опубликовал книгу «Евклид очищен от всех недостатков».

Наследие, оставленное Евклидом, огромно. Он вдохновлял таких личностей, как Авраам Линкольн, который всегда религиозно носил с собой «Элементы» и цитировал гения в своих речах.

Евклид оказал влияние на великих философов и математиков, таких как Ньютон и Декарт, которые излагали свои философские работы, используя формат и структуру Элюцида. Они также перешли от простых принципов к сложным концепциям, как Elucid.

10 главных фактов о Евклиде, которых вы не знали

Имя «Евклид» означает «известный, славный». примерно в начале 20 века.

Большинство других греческих математиков, начиная с Архимеда и далее, называли его «автором Элементов», а не по имени.

Некоторые исследователи считают, что Евклид не был историческим персонажем и что его работы были написаны группой математиков, которые все вместе взяли имя Евклид. Однако доказательств, подтверждающих эту гипотезу, немного.

Оптика Евклида была первой сохранившейся греческой диссертацией по проблематике оптики.

Его работа «Разделения фигур» сохранилась лишь частично в арабском переводе.

Подробную биографию Евклида дали арабские авторы, однако исследователи считают этот труд полностью вымышленным.

Средневековые переводчики и редакторы часто путали Евклида с философом Евклидом из Мегары, жившим примерно столетием раньше.

Геометрическая система, которую он описал в «Элементах», называется евклидовой геометрией, чтобы отличить ее от других так называемых неевклидовых геометрий, открытых математиками в 19 веке.

Часто говорят, что «Элементы» — одна из самых переводимых, издаваемых и изучаемых книг из всех книг, выпущенных в западном мире.

Кто такой Евклид? — Биография, вклад и теоремы — Видео и стенограмма урока

Предыстория Евклида

В жизни Евклида много загадок, включая точные даты его рождения и смерти, и во многих исторических отчетах он просто упоминается как «автор Элементов ». Это не отражение его важности, а просто свидетельство того, как трудно поддерживать хорошие записи на протяжении 2300 лет. Евклид, кажется, знал, работал или оказывал влияние на других крупных греческих деятелей, включая Платона и Архимеда. Евклиду приписывают как минимум шесть крупных работ. Большинство из них имеют дело с математическими формулами, но также углубляются в такие вещи, как математика зеркал и отражений, астрономия и оптические иллюзии.

Элементы: Евклид и геометрия

Самая известная работа Евклида — это 13-томный сборник под названием Элементы .Этот сборник представляет собой комбинацию собственных работ Евклида и первого компиляции важных математических формул другими математиками в единый организованный формат. Таким образом, это сделало математическое обучение намного более доступным. Elements также содержит серию из математических доказательств или объяснений уравнений, которые всегда будут верны, которые стали основой западной математики.

Среди них теорем Евклида , или утверждения, доказанные путем соединения различных ранее доказанных утверждений.Две теоремы Евклида формируют фундаментальное понимание арифметики и теории чисел. Первая теорема состоит в том, что любое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых чисел. Например, 21=3×7 или 31= 31×1. Вторая теорема Евклида утверждает, что существует бесконечное число простых чисел. Эти теоремы могут показаться базовыми, но Евклиду пришлось разработать формулы для их доказательства. На самом деле это одни из фундаментальных понятий арифметики, и их нужно было доказать, прежде чем на их основе можно было построить более сложные теоремы.

Элементы Евклида содержат несколько аксиом , или основополагающих предпосылок о геометрии, настолько очевидных, что они должны быть истинными. К ним относятся такие основные принципы, как пересечение двух непараллельных прямых, равенство противоположных углов равнобедренного треугольника и определение площади прямоугольного треугольника. Elements также содержит геометрические интерпретации алгебры, например такие идеи, как a(b+c)=ab+ac. Наиболее важным из них является алгоритм Евклида, формула для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.

Евклидов алгоритм

Евклид также работал над свойствами фигур, таких как треугольники и круги, а также над их отношениями и пропорциями. Вместе эти идеи составляют евклидову геометрию , или математику форм, соответствующую аксиомам Евклида. Евклидова геометрия является одним из основополагающих принципов современной математики и сыграла важную роль в разработке более сложных теорий в математике, искусстве и естественных науках.Интеллектуалы от Коперника до Исаака Ньютона и Альберта Эйнштейна сообщали о влиянии Элементов и их математических доказательств, теорем, аксиом и геометрии на их жизнь, и использовали евклидову геометрию в своей работе.

Краткое содержание урока

Евклид был древнегреческим математиком из Александрии, Египет. Из-за его новаторских работ в области математики его часто называют «отцом геометрии». Самый известный сборник работ Евклида под названием Элементы описывает некоторые из наиболее фундаментальных принципов геометрии.В нем представлены несколько аксиом или математических предпосылок, настолько очевидных, что они должны быть истинными, которые легли в основу евклидовой геометрии. Элементы также исследовали использование геометрии для объяснения принципов алгебры. Элементы были настолько важны, что использовались в качестве учебника по геометрии с 1 по 20 века.

Евклид и столпы математики

Религия и наука возглавляют список самых успешных книг в истории.Хотя Библия остается на первом месте, может быть удивительно узнать, что второе место занимает трактат, написанный около 300 г. до н.э. автора, о котором мы почти ничего не знаем. Элементы , от греческого математика Евклида, были опубликованы более тысячи раз и состоят из тринадцати томов по геометрии и арифметике, в которых собраны три столетия математической мысли. Коперник, Галилей, Кеплер и Ньютон построили свои теории после изучения этого учебника, который остается актуальным и сегодня и на протяжении многих веков двигал вперед физику и астрономию, а не только математику.

Во времена правления Птолемея I (367 г. до н. э. — 283 г. до н. э.) Евклид поселился в Александрии — одном из интеллектуальных центров того времени с его библиотекой и музеем, — где он основал важную математическую школу и написал « Элементов », чей оригинал не сохранилась, но из них имеется поздних греческих, латинских и арабских копий.

Папирус Oxyrhynchus с фрагментом «Элементов» Евклида. Источник: Викимедиа

По словам философа Прокла из Ликии, Евклид получил образование в Академии Платона, влияние которой видно в его работе, в которой одна часть посвящена построению пяти платоновых тел (тетраэдр, куб октаэдр, додекаэдр и икосаэдр). Остаток его жизни — загадка, как сказал английский писатель Эдвард М. Фостер: «Честно говоря, мы ничего о нем не знаем; сегодня мы рассматриваем его скорее как отрасль знаний, чем как человека».

Порядок в греческой мысли

На волне расцвета греческой мысли Евклид упорядочил и расширил работы других более ранних математиков. Содержание его работы так же важно, как и ее структура. Из нескольких идей он продемонстрировал большое количество результатов, в которых он также сделал видимыми принципы математического рассуждения.Столкнувшись с предыдущими идеями, которые были разрозненными и в высшей степени практичными, Евклид продемонстрировал теоремы, используя четкие дедуктивные правила, из определенных заранее определенных аксиом, с целью не оставлять никаких незавершенных концов. Elements содержит 131 определение, 5 постулатов или аксиом, 5 общих понятий и 465 утверждений. Из его 13 томов 8 посвящены геометрии на плоскости и в пространстве, а остальные посвящены теории пропорций, арифметике и теории несоизмеримости — предшественнику иррациональных чисел.

Книга I Элементов является самой известной: она включает в себя пять постулатов планиметрии, о которых ученые-математики могли говорить на протяжении многих веков. Эти аксиомы указывают на то, что геометрические фигуры, которыми управлял Евклид, можно было построить с помощью только линейки и циркуля, без необходимости в более сложных инструментах. Первые четыре постулата вполне интуитивны; например, можно провести прямую из любой точки в любую другую» или «все прямые углы равны».Однако пятая аксиома менее очевидна и заставила многих более поздних математиков попытаться сформулировать ее по-другому. В любом случае, когда плоскость удовлетворяет пяти аксиомам Евклида, мы говорим, что это евклидова плоскость, и говорим об евклидовой геометрии.

Схема, иллюстрирующая пятую аксиому Евклида. Источник: Wikimedia

Спорная пятая аксиома

«Если прямая пересекает две другие, образующие два внутренних угла на той же стороне, которые в сумме меньше двух прямых углов, то, продолжая их бесконечно, они встретятся на той стороне, на которой сумма углов меньше двух прямых углов.

Со времен Евклида считалось, что его пятый постулат о геометрии плоскости слишком сложен и его можно сформулировать проще. Чтобы решить эту проблему, были найдены эквивалентные формулировки аксиомы, но таким образом, чтобы геометрия, выполняющая ее, оставалась евклидовой. Это привело к более простым утверждениям, таким как «для точки вне прямой можно провести одну параллельную прямую» или «сумма углов треугольника равна 180°».

Только в начале девятнадцатого века такие математики, как Лобачевский, Бойяи и Гаусс, подняли вопрос о возможности создания плоских геометрий на основе постулатов, отличных от постулатов Евклида, которые известны как неевклидовы геометрии.Примером может служить гиперболическая геометрия Лобачевского, удовлетворяющая только первым четырем постулатам Евклида. В этом случае пятый постулат заменяется другим, совершенно новым. В гиперболической геометрии сумма углов треугольника меньше 180°.

Идеи Лобачевского приживались медленно. Хотя его теория считалась математически правильной, она казалась противоречащей здравому смыслу. Однако со временем его геометрия оказалась полезной — Вселенная демонстрирует гиперболическую геометрию в больших масштабах, — что означало революцию в математике, когда приходилось пересматривать концепции, которые до этого считались абсолютными истинами.

Гиперболический треугольник. Источник: Wikimedia

Квадратура прямоугольника

Структура Книги I Элементов задает стиль для остальных томов, которые следуют за ней и собирают обычные вопросы греческой математики. Примером может служить задача квадратуры или квадратуры прямоугольника, которая состоит в построении квадрата, равного по площади квадрату данного прямоугольника. Это задача, напоминающая знаменитое возведение круга в квадрат, которое со времен Древней Греции и на протяжении столетий после этого будоражило умы математиков; но сегодня мы знаем, что ее нельзя решить, используя только линейку и циркуль, так же как число пи нельзя представить таким образом.

В разделе, посвященном арифметике, также фигурирует знаменитый алгоритм Евклида , который до сих пор часто используется для вычисления наибольшего общего делителя. Более 2300 лет спустя математика этого почти неизвестного греческого языка все еще применяется в классах средней школы.

Бибиана Гарсия Висос и Даниэль Ариас Москера

@dabelbi и @Dani_Arias_Mosq

EST — Евклид — Космос

Ожидается, что команда Euclid Science будет следить за развитием и эксплуатацией миссии и давать советы по всем аспектам, влияющим на научную работу.Команда поддерживает ученого проекта в наблюдении за правильным выполнением научных задач миссии и в максимизации ее научной отдачи.

Научная группа Euclid была сформирована в 2011 году. В ее состав входят 10 членов Консорциума Euclid, два независимых ученых-наследников, а ее председателем является научный сотрудник проекта Euclid.

Состав

Иван К. Болдри — независимый ученый наследия
Ливерпульский университет Джона Мурса
Двенадцать причалов, Эгертон-Уорф
Биркенхед Ch51 1LD

Франсиско Дж. Castander — Специалист по обработке данных
Institut d’Estudis Espacials de Catalunya / CSIC
Edifici Nexus, Gran Capita 2-4
08034 Барселона, Испания 

Андреа Чиматти — Специалист по обработке данных
Отдел физики и астрономии
Viale Berti Pichat 6/2 Болонья

Марк Кроппер — Специалист по приборам визуализации VIS
MSSL- Университетский колледж Лондона, астрофизика
Хомбери-Сент-Мэри, Доркинг
Суррей NH5 6NT

Anne Ealet — научный сотрудник NISP по фотометрии и спектроскопии
Марсельская лаборатория астрофизики / Центр физики частиц Марселя
163, avenue de Luminy
13288 Марсель

Эдуардо Л.Мартин — независимый научный сотрудник
Centro de Astrobiolía (CSIC/INTA)
Ctra de Torrejón a Ajalvir, km 4 
28850 Torrejón de Ardoz,  Madrid

Yannick Mellier — Ученый по слабой линзе
Парижский институт астрофизики / CEA
98bis Bd Arago
75014 Париж

Йозеф Мор — Ученый-наследник
Университет Людвига-Максимилиана, Мюнхен, физический факультет
Шеллингштрассе 4
80799 Мюнхен

Robert Nichol — BAO Scientist
Институт космологии и гравитации Портсмутского университета
Dennis Sciama Building — Burnaby Road
Portsmouth, PO1 3FX

Jason Rhodes — научный руководитель США
Лаборатория реактивного движения
M/S 169-506
4800 Oak Grove Drive
Pasadena, CA 91109

Ханс-Вальтер Рикс — Специалист по обработке данных
Институт Макса Планка по астрономии
Кенигштуль 17
69117 Гейдельберг

Roberto Scaramella — Исследователь
INAF — Osservatorio Astronomico di Roma
Via Frascati 33
Monte Porzio Catone
00040 Roma

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.