НАЧАЛА ЕВКЛИДА • Большая российская энциклопедия
Авторы: По материалам статьи из БСЭ-3
«НАЧА́ЛА» ЕВКЛИ́ДА (Στοιχεῖα), написанное Евклидом в 3 в. до н. э. сочинение, содержащее основы античной математики. В «Н.» Е. рассматривались вопросы элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метод определения площадей и объёмов, включающий элементы теории пределов. Евклид подвёл итоги 300-летнего развития греч. математики и заложил фундамент для дальнейших математич. исследований. «Н.» Е. не являются, однако, энциклопедией математич. знаний своей эпохи. Так, в «Н.» Е. не излагалась теория конич. сечений, которая была тогда уже достаточно развита, отсутствовали вычислит. методы.
«Н.» Е. построены по дедуктивной системе: сначала приводятся определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства (см.
Дедукция). Вслед за определением основных геометрич. понятий и объектов (напр., точки, прямой) Евклид доказывает существование остальных объектов геометрии (напр., равностороннего треугольника) путём их построения, которое выполняется на основании пяти постулатов. В постулатах утверждается возможность выполнения некоторых элементарных построений, напр. что «от всякой точки до всякой точки (можно) провести прямую линию» (I постулат) и что «от всякого центра и всяким раствором (может быть) описан круг» (III постулат). Особое место занимает V постулат, иначе – аксиома о параллельных (см. Геометрия, Пятый постулат). После постулатов в «Н.» Е. приводятся аксиомы – предложения о свойствах отношений равенства и неравенства между величинами.
На протяжении более 2 тыс. лет «Н.» Е. являлись образцом науч. строгости. С совр. точки зрения система аксиом и постулатов «Н.
» Е. недостаточна для дедуктивного построения геометрии. Логич. недостатки построения «Н.» Е. полностью выяснились в кон. 19 в. после работ Д. Гильберта.
«Н.» Е. состоят из 13 книг. В кн. I рассматриваются осн. свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Книга заканчивается Пифагора теоремой. В кн. II излагается т. н. геометрич. алгебра, т. е. строится геометрич. аппарат для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям (алгебраич. символики в «Н.» Е. не было). В кн. III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд, в кн. IV – правильные многоугольники. В кн. V даётся общая теория пропорций, созданная Евдоксом Книдским; её можно рассматривать как прообраз теории действительных чисел, разработанной во 2-й пол. 19 в. Общая теория пропорций является основой учения о подобии (кн.
VI) и метода исчерпывания (кн. VII). В книгах VII–IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя (Евклида алгоритм). В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и о бесконечности числа простых чисел; здесь также излагается учение об отношениях целых чисел, эквивалентное, по существу, теории положительных рациональных чисел. В кн. Х даётся классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей и обосновываются некоторые правила их преобразования. Результаты кн. Х применяются в кн. XIII для нахождения длин рёбер правильных многогранников. В кн. XI излагаются основы стереометрии. В кн. XII с помощью исчерпывания метода определяются отношения площадей двух кругов и отношения объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра.
В кн. XIII определяется отношение объёмов двух шаров, строятся 5 правильных многогранников и доказывается, что др. правильных многогранников не существует. Позднее греч. математиками к «Н.» Е. были присоединены книги XIV и XV, не принадлежавшие Евклиду.
«Н.» Е. получили широкую известность уже в древности. Архимед, Аполлоний Пергский и др. учёные опирались на них в своих исследованиях по математике и механике. До нашего времени античный текст «Н.» Е. не дошёл (древнейшая из сохранившихся копий относится ко 2-й пол. 9 в.). В кон. 8 – нач. 9 вв. появились переводы «Н.» Е. на араб. язык. Первый перевод с арабского на лат. язык был сделан в 1-й четв. 12 в. Первое печатное издание «Н.» Е. появилось в Венеции в 1482. Одним из лучших считается издание И. Гейберга («Euclidis Elementa», vol. 1–5, 1883–1888), в котором приводится как греч. текст, так и его лат.
перевод. На рус. языке «Н.» Е. издавались многократно начиная с 18 в.
Как изучают историю математики по чертежам в «Началах» Евклида / Хабр
В четвёртой книге «Начал» Евклида, текста по геометрии возрастом 2 300 лет, есть указанаия по построению 15-стороннего многоугольника внутри круга. Первый шаг хорошо известен изучающим геометрию: построение равностороннего треугольника и правильного пятиугольника так, чтобы их вершины лежали на окружности и обе фигуры имели одну общую вершину. Кроме текстовых указаний, в «Началах» содержались иллюстрирующие метод чертежи.
В старейшей полной копии «Начал», манускрипте девятого века, хранящемся в Ватиканской библиотеке, отрезки прямых чертились и стирались. Изображение из Library of Congress Online Catalog, Prints and Photographs Division.
Невозможно узнать, как выглядели исходные схемы самого Евклида, но в выживших манускриптах открываются удивительные вариации в отображении таких геометрических фигур, как пятнадцатиугольник.
Современному наблюдателю такие вариации кажутся ошибками: в некоторых средневековых версиях текста отрезки прямых имеют неверную длину. В манускрипте девятого века, старейшей копии «Начал», хранящейся в Ватиканской библиотеке, отрезки чертились и стирались. В ещё одном тексте девятого века, хранящемся в Оксфордском университете, стороны пятнадцатиугольника внутри окружности изогнутые и беспорядочные, а не прямые. В парижской копии двенадцатого века тоже используются кривые, но они немного менее извилисты, чем в старой оксфордской версии. В Вене хранится текст одиннадцатого или двенадцатого века, в котором исходные линии были правильной длины и прямыми, но позже кто-то добавил к ним изогнутые отрезки (1).
«Начала» вызывают огромный интерес, но это не единственный исторический научный текст с проблемами в чертежах. Оказывается, они встречаются в копиях работ Ибн аль-Хайсама, Архимеда, Аристотеля и Птолемея. Среди вариаций встречаются параллельные линии, которые на самом деле не параллельны, неверно обозначенные фигуры, равные отрезки или углы, нарисованные неравными, или неравные углы, которые могут выглядеть равными.
Например, в манускрипте палимпсеста Архимеда десятого века для обозначения паработы используется равнобедренный треугольник. Это может казаться простыми историческими странностями, но некоторые исследователи находят среди чертежей интригующие намёки на то, как эволюционировала математика на протяжении тысячелетия.
Визуализация
Исследователи начинают изучать эти вариации, чтобы узнать, как распространялись математические идеи и понять, как к этой теме подходили разные люди. Традиционно, историки математики, изучающие древнегреческие тексты, сосредоточены на словах и числах и пропускают чертежи, как простые иллюстрации к тексту. Как считают историк науки Натан Сидоли из токийского Университета Васэда и его коллега Кен Саито из Университета префектуры Осака, заметившие в эссе 2012 года схематические изменения пятнадцатиугольника и других доказательств, из-за такой сосредоточенности на тексте мы пропускаем часть истории (1).
Математика богата на абстракции, и со временем люди открыли множество способов визуализации этих абстракций.
«С самой юности мы обучаемся пониманию общих концепций определёнными визуальными способами», — говорит Сидоли. «Посмотрев на эти работы, мы можем напомнить себе, что это не универсальный способ видения».
Чертежи и схемы были частью математики тысяч лет человеческой истории. Вавилоняне вычисляли квадратные корни и знали принцип теоремы Пифагора ещё за тысячу с лишним лет до Пифагора или Евклида. Свидетельством может служить глиняная табличка, датированная семнадцатым веком до нашей эры, на которой нарисован чертёж квадрата и его диагоналей с соответствующими числами. Пионер визуализации данных Эдвард Тафти, профессор-эмерит политических наук, информатики и статистики из Йеля, называет табличку «графическим свидетелем» знаний вавилонян.
Некоторые исследователи считают, что чертежи сами могут являться цельной частью математики и носителем информации между веками, несмотря на все свои недостатки. Если ошибка, появившаяся в одной копии, распространилась на последующие версии, то это показывает, что переписчики не понимали математики или не ценили точность.
Этот фрагмент «Начал» был частью оксиринхских папирусов, группы манускриптов, обнаруженных в 1897 году на древней мусорной свалке рядом с городом Оксиринх в Египте. Текст возрастом примерно 2 000 лет ссылается на пятую теорему второго тома «Начал». Изображение принадлежит Bill Casselman (University of British Columbia, Vancouver).
Вмешательство читателя
«Начала», состоявшие из тринадцати томов, были выпущены по крайней мере в сотнях изданий, и до последнего века это была вторая по объёмам продаж книга в мире. (Первая — это Библия.) Но не всё в «Началах» было выведено Евклидом. В томах представлен сборник математических знаний, известных древним грекам того времени.
Физик Стивен Хокинг назвал Евклида «величайшим энциклопедистом математики всех времён» и сравнил его с Ноа Уэбстером, составившим первый словарь английского языка (2).
«Начала» переводились с древнегреческого, арабского, латыни, древнееврейского и других языков. Трактат в процессе роста и миграции эволюционировал, как и чертежи в нём. Читатели оставляли заметки на полях и вносили правки. Последующие читатели и переводчики, видели и манускрипт, и добавления, и редактировали труд в соответствии с тем, что соответствовало их времени. Такие взаимодействия зафиксированы в переводах доказательств и чертежей «Начал», и сам акт копирования стал, по словам изучающего эволюцию чертежей «Начал» аспиранта Стэнфордского университета Енсу Ли, актом преобразования.
«Мы легко можем упустить роль читателей в создании чертежей», — говорит Ли, подчёркивая, что они могли вмешиваться и вносить свой вклад, делая пометки в манускрипте. Позже переписчики принимали эти примечания к сведению.
«Если они считали, что чертежи на полях были важнее основных чертежей, — объясняет Ли, — то чертежи на полях последующими поколениями превращались в основные». Эти визуальные изменения передавали математические идеи способами, которые невозможно передать текстом.
Называть такие изменения ошибками было бы слишком банально. Некоторые из изменений должны были стать улучшениями; другие возникли из культурных практик. Например, арабский текст читается справа налево, поэтому в ранних арабских версиях «Начал» ориентация чертежей часто отзеркаливалась — углы, которые в древнегреческих манускриптах раскрывались влево, в арабских версиях раскрывались справо. Однако, когда эти арабские версии переводились на латынь, некоторые переписчики не переворачивали чертежи обратно.
Математик Робин Хартсхорн, ранее работавший в Калифорнийском университете в Беркли, даже утверждает, что не всегда справедливо видеть изменение чертежей как процесс правки. Даже со всеми этими кривыми и изгибами чертежи пятнадцатиугольников передавали нужный смысл.
Печать «Начал» с точными чертежами отражает ценности времени, говорит он, но эта практика нелояльна к предыдущим версиям. «Я бы назвал это перерисовкой чертежей под вкусы современных математиков, стремящихся видеть метрическую точность», — говорит Хартсхорн.
«Это были нарисованные от руки чертежи понятий, которые не всегда легко представить в письменном виде», — добавляет историк науки Кортни Роби, изучающая древние научные тексты в Корнеллском университете. «Чертежи — это творения конкретных авторов и переписчиков, их креативности, экспериментов и изменений».
Эволюция начал
Ли занимается манускриптами с девятого века до первой печатной версии «Начал», появившейся в 1482 году после изобретения печатного станка. С того времени, говори Ли, 
До девятнадцатого века трактат Евклида считался образцом строгих и структурированных математических доказательств. Чтобы иметь смысл, эти доказательства требуют чертежей. «Они бесполезны без чертежей», — объясняет философ Джон Мумма из Университета штата Калифорния, утверждающий, что чертежи «Начал» — это не просто наглядный инструмент преподавания, они являются и важными для доказательства самих утверждений (3)
В конце 19-го и начале 20-го веков математики поставили под вопрос превосходство «Начал» и частично причиной тому была зависимость Евклида от чертежей. В частности, немецкий математик Давид Гильберт призывал к более формальному подходу к математике, использующему исключительно логику и не требующий для доказательств чертежей, которые он считал своего рода «костылями» математики.
«От „Начал“ Евклида отказывались, потому что они казались не очень строгими», — рассказывает Джон Мумма. «Считалось, что он использовал чертежи интуитивно и слишком свободно».
Например, в «Началах» был чертёж, показывающий точку на прямой между двумя другими точками. Хильберту нужно было аналитическое описание того, что он называл «промежуточностью», без использования рисунков. Британский философ и логик Бертран Рассел тоже критиковал подход Евклида: он заметил, что многие древнегреческие доказательства слабы, потому что они берут силу своих рассуждений из чертежей, а не исключительно из логики. «Подлинное доказательство должно сохранять свою силу даже при отсутствии нарисованных фигур, но очень многие доказательства Евклида не проходят эту проверку», — писал Расселл в 1902 году (4). (Первое доказательство в
Однако многие современные историки математики воспринимают подход Евклида как ещё один способ видения математики — и он необязательно слаб просто потому, что использует чертежи.
Эти учёные утверждают, что чертёж и представляет собой доказательство, и что нет универсального способа понимания математики. «Мы на самом деле можем всё понять, в точности использовав информацию, содержащуюся на чертеже в качестве доказательства», — говорит Мумма. «Это не просто иллюстрация».
Современные исследования сфокусировались на чертежах по большей степени с 1990-х, когда Ревил Нетц из Стэнфордского университета и Кеннет Мэндерс из Питтсбургского университета заявили, что античные математические чертежи заслуживают, чтобы их рассматривали под другим углом. Нетц говорит, что область исследования сосредоточена на двух аспектах: самом графическом представлении и способах использования чертежей людьми (5, 6). Он утверждает, что работа Ли из Стэнфордского университета по сравнению чертежей разных веков объединяет эти два аспекта, позволяя расширить область исследования.
Нетц говорит, что работа Ли поможет историкам понять, как «наука перешла от теоретической геометрии древних греков к… более прикладному и физическому использованию геометрии для реального мира».
После «Начал» Ли хочет проанализировать чертежи в «Оптике» Евклида — раннем труде по физике света, а затем сосредоточиться на работах Птолемея и Архимеда. Он надеется, что его исследования привлекут интерес историков, философов и математиков к анализу того, как люди использовали (и продолжают использовать) чертежи для изучения глубоких математических идей. «Мы склоняемся к том, что от чертежей можно избавиться», — говорит он. «Но некоторые идеи невозможно передать в тексте. Их необходимо передавать графически».
Справочные материалы
- Saito K, Sidoli N (2012) Diagrams and arguments in ancient Greek mathematics: Lessons drawn from comparisons of the manuscript diagrams with those in modern critical editions. The History of Mathematical Proof in Ancient Traditions, ed Chemla K (Cambridge Univ Press, Cambridge, UK), pp 135–162. Google Scholar
- Hawking S, ed (2002) On the Shoulders of Giants (Running Press, Philadelphia). Google Scholar
- Mumma J (2010) Proofs, pictures, and Euclid.
Synthese 175:255–287. CrossRef Web of Science Google Scholar - Russell B (1902) The teaching of Euclid. Math Gaz 2:165–167. Google Scholar
- Netz R (1998) Greek mathematical diagrams: Their use and their meaning. Learn Math 18:33–39. Google Scholar
- Manders K (1995) Diagram-based geometric practice. The Philosophy of Mathematical Practice, ed Mancosu P (Oxford Univ Press, Oxford), pp 65–79. Google Scholar
Synthese 175:255–287. CrossRef Web of Science Google ScholarESA — Обзор Евклида
Наука и исследования35137 просмотра
Впечатление художника от Евклида. Имя
Евклид. Евклид назван в честь греческого математика Евклида Александрийского, который жил около 300 г. до н.э. и основал предмет геометрии. Поскольку плотность материи и энергии связана с геометрией Вселенной, миссия была названа в его честь.
Период запуска
Июль 2023 г.
Цели миссии
Евклид предназначен для изучения эволюции темной Вселенной.
Он создаст трехмерную карту Вселенной (со временем в качестве третьего измерения), наблюдая миллиарды галактик на расстоянии до 10 миллиардов световых лет на более чем трети неба.
В то время как темная энергия ускоряет расширение Вселенной, а темная материя управляет ростом космических структур, ученые по-прежнему не уверены в том, что на самом деле представляют собой темная энергия и темная материя.
Наблюдая за развитием Вселенной за последние 10 миллиардов лет, Евклид покажет, как она расширялась и как формировалась структура на протяжении всей космической истории, и на основании этого астрономы могут сделать вывод о свойствах темной энергии, темной материи и гравитации, чтобы открыть больше об их точной природе.
Здесь рассматриваются две основные темы программы Cosmic Vision ЕКА: Каковы фундаментальные физические законы Вселенной? и Как возникла Вселенная и из чего она состоит?
Космическое видение ЕКА на 2015-2025 гг. Ключевые вопросы
Евклид предназначен для решения некоторых из наиболее важных вопросов космологии:
- Какова структура и история космической сети?
- Какова природа темной материи?
- Как менялось расширение Вселенной с течением времени?
- Какова природа темной энергии?
- Полно ли наше понимание гравитации?
Космический корабль и инструменты
Космический корабль Евклид имеет примерно 4,7 м в высоту и 3,7 м в диаметре.
Он состоит из двух основных компонентов: сервисного модуля и модуля полезной нагрузки.
Модуль полезной нагрузки состоит из телескопа диаметром 1,2 м и двух научных инструментов: камеры видимого диапазона (VISible Instrument, VIS) и камеры/спектрометра ближнего инфракрасного диапазона (спектрометр и фотометр ближнего инфракрасного диапазона, NISP). Служебный модуль содержит спутниковые системы: выработки и распределения электроэнергии, ориентации, электроники обработки данных, двигательной установки, телеуправления и телеметрии, терморегулирования.
Путешествие и орбита
Евклид запустится на ракете-носителе SpaceX Falcon 9 с мыса Канаверал, Флорида, США. Его рабочая орбита будет представлять собой гало вокруг точки, известной как точка Лагранжа 2 (L2) Солнца и Земли, на среднем расстоянии 1,5 миллиона километров от орбиты Земли. Это особое место идет в ногу с Землей, когда мы вращаемся вокруг Солнца (а также здесь находятся космические телескопы ЕКА Gaia и Webb).
Срок службы
Номинальный срок службы составляет шесть лет с возможностью продления (ограничено количеством холодного газа, используемого для движения).
История
Евклид возник из двух концепций миссии, которые были предложены в ответ на конкурс предложений ESA Cosmic Vision 2015-2025, опубликованный в марте 2007 года: Dune, исследователь темной вселенной, и Space, спектроскопический космический исследователь всего неба. Обе миссии предложили дополнительные методы исследования темной энергии, и после этапа оценочного исследования они объединились в объединенную миссию: Евклид. В октябре 2011 г. Комитет по научной программе ЕКА выбрал Евклид для внедрения, и он был официально принят в июне 2012 г.
Collaboration
Евклид — полностью европейская миссия, построенная и управляемая ЕКА при содействии НАСА. Консорциум Euclid, состоящий из более чем 2000 ученых из 300 институтов 13 стран Европы, США, Канады и Японии, предоставил научные инструменты и анализ научных данных.
ЕКА выбрало Thales Alenia Space в качестве генерального подрядчика для строительства спутника и его служебного модуля, а Airbus Defense and Space выбрали для разработки модуля полезной нагрузки, включая телескоп. НАСА предоставило детекторы ближнего инфракрасного диапазона для прибора NISP.
Факты о миссии Евклид
Евклид — космологическая исследовательская миссия, оптимизированная для определения свойств темной энергии и темной материи во вселенских масштабах.
Евклид будет делать снимки в оптическом и ближнем инфракрасном свете; эти изображения в конечном итоге покроют более одной трети внегалактического неба за пределами Млечного Пути и будут изображать миллиарды космических целей на расстоянии, где свету потребовалось до 10 миллиардов лет, чтобы добраться до нас.
Качество изображения Евклида будет как минимум в четыре раза выше, чем у наземных обзоров неба.
Кроме того, Евклид проведет спектроскопию в ближнем инфракрасном диапазоне сотен миллионов галактик и звезд того же неба.
Это позволит ученым детально исследовать химические и кинематические свойства многих целей.
Евклид создаст большой архив уникальных данных, беспрецедентный по объему для космической миссии, что позволит проводить исследования во всех дисциплинах астрономии.
Масса Евклида на орбите составит 2 тонны (включая 800 кг модуля полезной нагрузки, 850 кг служебного модуля, 40 кг балансировочной массы и 210 кг топлива).
Консорциум Евклид | Космическая миссия по составлению карты Темной Вселенной
ПоискХудожественные виды спутника Euclid – © ESA Euclid – космическая миссия ЕКА среднего класса для астрономов и астрофизиков. Евклид был выбран ЕКА в октябре 2011 года (см. страницу Евклида ЕКА). Его запуск запланирован на 2023 год. В июне 2012 года ЕКА официально выбрало «Консорциум Евклида» в качестве единой команды, несущей научную ответственность за миссию, производство данных и научные инструменты. Миссия Евклида направлена на то, чтобы понять, почему расширение Вселенной ускоряется и какова природа источника, ответственного за это ускорение, которое физики называют темной энергией. Сегодня темная энергия составляет около 75% энергетического содержания Вселенной, и вместе с темной материей она доминирует в содержании материи и энергии Вселенной. Оба загадочны и неизвестны, но управляют прошлым, настоящим и будущим развитием Вселенной. Евклид будет исследовать, как Вселенная развивалась за последние 10 миллиардов лет, чтобы ответить на вопросы, связанные с фундаментальной физикой и космологией, о природе и свойствах темной энергии, темной материи и гравитации. Евклид также предоставит полезную информацию о физике ранней Вселенной и о начальных условиях, которые привели к формированию космической структуры. Отпечатки темной энергии и гравитации будут отслеживаться с помощью двух взаимодополняющих космологических зондов для регистрации признаков скорости расширения Вселенной и роста космических структур: слабое гравитационное линзирование и кластеризация галактик (барионные акустические колебания и космическое искажение красного смещения). Для выполнения миссии Euclid ЕКА выбрало Thales Alenia Space (см. также пресс-релиз ЕКА) для строительства спутника и его служебного модуля и Airbus (Defence and Space) для модуля полезной нагрузки. Euclid будет оснащен зеркальным телескопом из карбида кремния (SiC) диаметром 1,2 м, изготовленным Airbus (Defence and Space), который питает 2 инструмента, VIS и NISP, созданные Консорциумом Euclid: высококачественный панорамный формирователь видимого изображения (VIS), ближний инфракрасный фотометр с тремя фильтрами (Y, J и H) (NISP-P) и безщелевой спектрограф (NISP-S). С помощью этих инструментов физики будут исследовать историю расширения Вселенной и эволюцию космических структур, измеряя изменение формы галактик, вызванное эффектами гравитационного линзирования темной материи, и трехмерное распределение структур по спектроскопическим красным смещениям галактик и скоплений галактик. галактики. Спутник будет запущен ракетой Falcon9 корпорации SpaceX и после 30-дневного транзита выйдет на орбиту вокруг точки Лагранжа L2 Солнце-Земля в течение 6 лет. |
.