Математика лейбниц: Лейбниц — математика и искусство

Содержание

Лейбниц — математика и искусство

ЛЕЙБНИЦ Го́тфрид Ви́льгельм ( 1646 —  1716) — немецкий философ, логик, математик, физик, юрист, историк, дипломат, изобретатель и языковед. Основатель и первый президент Берлинской Академии наук, иностранный член Французской Академии наук.

Лейбниц, независимо от Ньютона , создал математический анализ — дифференциальное и интегральное исчисление , основанные на бесконечно малых.
1675 — Лейбниц создаёт дифференциальное и интегральное исчисление и впоследствии опубликовывает главные результаты своего открытия, опережая Ньютона, который ещё раньше  пришёл к сходным результатам, но  ещё не публиковал их.

1684  -публикует первую в мире крупную работу по дифференциальному исчислению: «Новый метод максимумов и минимумов», причём имя Ньютона в первой части даже не упоминается.  Впоследствии на эту тему возник многолетний спор между Ньютоном и Лейбницем.

В работе Лейбница излагаются основы дифференциального исчисления, правила дифференцирования выражений.

Используя геометрическое истолкование отношения dy/dx, он кратко разъясняет признаки возрастания и убывания, максимума и минимума, выпуклости и вогнутости (следовательно, и достаточные условия экстремума для простейшего случая), а также точки перегиба. Попутно без каких-либо пояснений вводятся «разности разностей» (кратные дифференциалы), обозначаемые ddv.

1686 — даёт подразделение вещественных чисел на алгебраические и трансцендентные; ещё раньше он аналогично классифицировал кривые линии. Впервые в печати вводит символ  для интеграла (и указывает, что эта операция обратна дифференцированию).
1693 — рассматривает вопрос о разрешимости линейных систем; его результат фактически вводит понятие определителя.
1695 — вводит показательную функцию в самом общем виде.

1702: совместно с Иоганном Бернулли Лейбниц открыл приём разложения рациональных дробей на сумму простейших. Это решает многие вопросы интегрирования рациональных дробей.


Лейбниц ввёл следующие термины: «дифференциал», «дифференциальное исчисление», «дифференциальное уравнение», «функция», «переменная», «постоянная», «координаты», «абсцисса», «алгебраические и трансцендентные кривые».

Лейбниц создал комбинаторику как науку.Он заложил основы математической логики. Описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1, на которой основана современная компьютерная техника.Первым ввёл понятие «живой силы» (кинетической энергии) и сформулировал закон сохранения энергии.

Открытая Математика. Функции и Графики. Готфрид Лейбниц

Лейбниц (Leibniz) Готфрид Вильгельм (1.7.1646, Лейпциг, – 14.11.1716, Ганновер), немецкий философ-идеалист, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, языковед. Изучал юриспруденцию и философию в Лейпцигском и Йенском университетах. В 1672 отправился с дипломатической миссией в Париж, а через четыре года возвратился в Германию, состоя в последующие 40 лет на службе у ганноверских герцогов, сначала в качестве придворного библиотекаря, затем – герцогского историографа и тайного советника юстиции. В 1700 стал первым президентом созданного по его инициативе Берлинского научного общества. В 1711, 1712 и 1716 встречался с Петром I, разработал ряд проектов по развитию образования и государственного управления в России.

Вёл обширную переписку почти со всеми крупнейшими учёными, а также политическими деятелями.

В философии Лейбниц явился завершителем философии XVII в., предшественником немецкой классической философии. Его философская система сложилась к 1685 как итог двадцатилетней эволюции, в процессе которой Лейбниц критически переработал основные идеи Демокрита, Платона, Августина, Декарта, Гоббса, Спинозы и др. Лейбниц стремился синтезировать всё рациональное в предшествующей философии с новейшим научным знанием на основе предложенной им методологии, важнейшими требованиями которой были универсальность и строгость философских рассуждений. Совершенство действительного мира он понимал как «гармонию сущности и существования»: оптимальность отношений между разнообразием существующих вещей и действий природы и их упорядоченностью; минимум средств при максимуме результата. Следствиями последнего онтологического принципа является ряд других принципов: принцип единообразия законов природы, или всеобщей взаимосвязи, закон непрерывности, принцип тождества неразличимых, а также принципы всеобщего изменения и развития, простоты, полноты и др.

В духе рационализма XVII в. Лейбниц различал мир умопостигаемый, или мир истинно сущего (метафизическая реальность), и мир чувственный, или только являющийся (феноменальный) физический мир. Реальный мир, по Лейбницу, состоит из бесчисленных психических деятельных субстанций, неделимых первоэлементов бытия – монад, которые находятся между собой в отношении предустановленной гармонии. Гармония (взаимнооднозначное соответствие) между монадами была изначально установлена богом, когда тот избрал для существования данный «наилучший из возможных миров». В силу этой гармонии, хотя ни одна монада не может влиять на другие (монады как субстанции не зависят друг от друга), тем не менее развитие каждой из них находится в полном соответствии с развитием других и всего мира в целом. Это происходит благодаря заложенной богом способности монад представлять, воспринимать, или выражать и отражать, все другие монады и весь мир. Деятельность монад состоит в смене восприятий (перцепций) и определяется индивидуальным «стремлением» (аппетицией) монады к новым восприятиям.

Хотя вся эта деятельность исходит из самой монады, она в то же время есть развёртывание изначально заложенной в монаде индивидуальной программы, «полного индивидуального понятия», которое во всех подробностях бог мыслил, прежде чем сотворил данный мир. Т. о., все действия монад полностью взаимосвязаны и предопределены. Монады образуют восходящую иерархию сообразно тому, насколько ясно и отчётливо они представляют мир. В этой иерархии особое место занимают монады, которые способны не только к восприятию, перцепции, но и к самосознанию, апперцепции и к которым Лейбниц относил души людей.

Мир физический, как считал Лейбниц, существует только как несовершенное, чувственное выражение истинного мира монад, как феномен познающего объективный мир человека. Однако, поскольку физические феномены в конце концов порождаются стоящими за ними реальными монадами, Лейбниц считал их «хорошо обоснованными», оправдывая тем самым значимость физических наук. В качестве таких «хорошо обоснованных» феноменов ученый рассматривал пространство, материю, время, массу, движение, причинность, взаимодействие, как они понимались в физике и механике его времени.

В физике Лейбниц развивал учение об относительности пространства, времени и движения. Он установил в качестве количественной меры движения «живую силу» (кинетическую энергию) – произведение массы тела на квадрат скорости, в противоположность Декарту, который считал мерой движения произведение массы на скорость – «мёртвую силу», как назвал её Лейбниц. Использовав отчасти результаты Гюйгенса, Лейбниц открыл закон сохранения «живых сил», явившийся первой формулировкой закона сохранения энергии, а также высказал идею о превращении одних видов энергии в другие. Исходя из философского принципа оптимальности всех действий природы, Лейбниц сформулировал один из важнейших вариационных принципов физики – «принцип наименьшего действия» (позднее – принцип Мопертюи). Ему принадлежит также ряд открытий в специальных разделах физики: в теории упругости, теории колебаний, в частности открытие формулы для расчёта прочности балок и т.д.

В логике Лейбниц развил учение об анализе и синтезе, впервые сформулировал закон достаточного основания, ему принадлежит также принятая в современной логике формулировка закона тождества. В его работе «Об искусстве комбинаторики», написанной в 1666, предвосхищены некоторые моменты современной математической логики; Лейбниц выдвинул идею применения в логике математической символики и построений логических исчислений, поставил задачу логического обоснования математики, предложил использовать бинарную систему счисления для целей вычислительной математики. Лейбниц впервые высказал мысль о возможности машинного моделирования человеческих функций; ввёл термин «модель».

В математике важнейшей заслугой Лейбница является разработка (наряду с Ньютоном и независимо от него) дифференциального и интегрального исчисления. Первые результаты были получены Лейбницем в 1675 под влиянием Гюйгенса и на основе работ Паскаля, Декарта, Валлиса и Меркатора. Систематический очерк дифференциального исчисления был впервые опубликован в 1684, интегрального – в 1686. Здесь давались определения дифференциала и интеграла, были введены знаки для дифференциала d и интеграла ∫, приводились правила дифференцирования суммы, произведения, частного, любой постоянной степени, функции от функции (инвариантность первого дифференциала), правила отыскания и различения (с помощью второго дифференциала) экстремальных точек кривых и отыскание точек перегиба, устанавливался взаимно-обратный характер дифференцирования и интегрирования.

Применяя своё исчисление к ряду задач механики (о циклоиде, цепной линии, брахистохроне и др.), Лейбниц наряду с Гюйгенсом и братьями Бернулли вплотную подходит к созданию вариационного исчисления (1686–96). В дальнейших работах Лейбниц указал (1695) формулу для многократного дифференцирования произведения (формула Лейбница) и правила дифференцирования ряда важнейших трансцендентных функций, положил начало (1702–03) интегрированию рациональных дробей. Лейбниц широко пользовался разложением функций в бесконечные степенные ряды, установил признак сходимости знакочередующегося ряда, дал решение в квадратурах некоторых типов обыкновенных дифференциальных уравнений. Лейбниц ввёл термины «дифференциал», «дифференциальное исчисление», «дифференциальное уравнение», «функция», «переменная», «постоянная», «координаты», «абсцисса», «алгебраические и трансцендентные кривые», «алгоритм» (в смысле, близком к современному) и др. Хотя предпринятые Лейбницем попытки логического обоснования дифференциального исчисления нельзя признать успешными, его ясное понимание существа новых аналитических методов и всесторонняя разработка аппарата исчисления способствовали тому, что именно его вариант исчисления во многом определил дальнейшее развитие математического анализа.
Кроме анализа, Лейбниц сделал ряд важных открытий в других областях математики: в комбинаторике, алгебре (начала теории определителей), в геометрии, где он заложил основы теории соприкосновения кривых (1686), разрабатывал одновременно с Гюйгенсом теорию огибающих семейства кривых (1692–94), выдвинул идею геометрических исчислений.

В работе «Протогея» (1693) Лейбниц высказал мысль об эволюции Земли и обобщил собранный им материал в области палеонтологии. В биологию Лейбниц ввёл идею целостности органических систем, принцип несводимости органического к механическому; эволюцию он понимал как непрерывное развёртывание преформированных зародышей. В психологии ученый выдвинул понятие бессознательно «малых перцепций» и развил учение о бессознательной психической жизни.

В языкознании Лейбниц создал теорию исторического происхождения языков, дал их генеалогическую классификацию, развил учение о происхождении названий. Лейбниц явился одним из создателей немецкого философского и научного лексикона.

Основные философские сочинения: «Рассуждение о метафизике» (1685), «Новая система природы» (1695), «Новые опыты о человеческом разуме» (1704), «Теодицея» (1710), «Монадология» (1714). Основные математические сочинения: «Об истинном отношении круга к квадрату» (1682), «Новый метод максимумов и минимумов» (1684), «О скрытой геометрии и анализе неделимых…» (1686). Физические воззрения Лейбница изложены, в частности, в работах «Доказательство памятной ошибки Декарта» (1686), «Очерк динамики» (1695), политические и юридические идеи – в сочинениях «Трактат о праве…» (1667), «Христианнейший Марс…» (1680), «Кодекс международного дипломатического права» (1693) и др.

Готфрид Вильгельм Лейбниц: гений чистой простоты

У современных ученых редко хватает времени больше чем на одну научную дисциплину. Лейбницу его хватало на все. Он внес свой вклад в развитие философии, физики, математики, биологии, лингвистики и многих других наук. Он описал двоичную систему счисления, на которой основана современная компьютерная техника, и предсказал появление Европейского союза.

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в 1646 году в семье профессора этики Лейпцигского университета. Его отец рано ушел из жизни, оставив сыну в качестве наследства огромную библиотеку. Мальчик проводил в ней почти все свободное время. К 10 годам он уже прочитал книги важнейших греческих философов. В 12 выучил латынь, в 13 начал писать на ней стихи. В 15 Лейбниц стал студентом Лейпцигского университета, в котором когда-то преподавал его отец, – даже по меркам тех времен это был очень ранний возраст.

Из Лейпцига студент-вундеркинд переехал в Йену, где получил сначала степень бакалавра, а потом и степень магистра философии. Еще через несколько лет он защитил докторскую диссертацию по праву. В 1667 году молодой ученый поступил на службу к курфюрсту Майнца, который предложил Лейбницу поучаствовать в реформировании местного законодательства. Однако даже на такой солидной должности он не оставил своих занятий другими науками.

У Лейбница не было того, что сейчас назвали бы «специализацией». Он был универсальным гением: занимался математикой, физикой, химией, философией, биологией, психологией и лингвистикой. Каждая из этих наук ему чем-то обязана.

Основоположник теории искусственного интеллекта Норберт Винер говорил, что если бы его любимой кибернетике нужно было выбрать святого покровителя, то им точно стал бы Готфрид Вильгельм Лейбниц. В начале 1670-х немец создал арифмометр – механический калькулятор, который выполнял как простейшие операции вроде вычитания, умножения и деления, так и сложные: машина умела извлекать корни и возводить в степень. Лейбницу тогда не было и 30 лет. Позже он продолжил свои исследования и описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1 – ту самую, на которой основана вся современная компьютерная техника.

Задолго до Зигмунда Фрейда Лейбниц пришел к выводу о том, что психические процессы делятся на полностью осознаваемые и смутно осознаваемые. Он разработал концепцию «малых перцепций» – неосознаваемых восприятий, которые влияют на состояние человека: «Я думаю, что в душе происходит нечто, соответствующее кровообращению и всем движениям наших внутренних органов, чего мы, однако, не осознаем, подобно тому как люди, живущие около водяной мельницы, не осознают производимого ею шума».

Революционными были и его идеи в области права. В эпоху раздробленности он говорил о том, что правовая система всего христианского мира должна быть унифицирована. У него даже была теория создания Европейской конфедерации, которая будет управляться единым советом или сенатом. В этот орган должны были войти представители разных наций. Важнейшие вопросы предполагалось решать голосованием. Примерно так и устроен современный Европейский союз.

Ему легко давались иностранные языки, и он не был согласен с господствующей тогда лингвистической теорией, согласно которой все языковое многообразие мира восходит к единому древнееврейскому наречию. Он разработал концепцию исторического происхождения языков, а также создал один из первых вариантов их генеалогической классификации.

В 1684 году Лейбниц опубликовал статью, в которой изложил принципы дифференциального исчисления. Грандиозное открытие вылилось в главный научный скандал двух столетий. Параллельно с Лейбницем свою версию математического анализа создал Исаак Ньютон. Он еще не успел обнародовать результаты в печати, но настаивал на собственном первенстве. На протяжении нескольких лет в научном сообществе шла настоящая «информационная война»: в одних рецензиях отстаивалась правота Лейбница, в других – Ньютона. В 1713 году Лондонское королевское общество решило вопрос в пользу своего соотечественника. Немецкий ученый, по воспоминаниям современников, был расстроен и раздосадован этим вердиктом.

Лейбниц считается предшественником немецкой классической философии. Он разработал систему, получившую название «монадология». Монады – духовные субстанции, которые одновременно абсолютно просты и бесконечно сложны. Их много, но двух тождественных друг другу нет. Каждая монада, в том числе и человеческая душа, является «живым зеркалом вселенной». Высшая субстанция, или «монада монад» – это Бог, олицетворяющий абсолютную полноту и ясность знаний.

При непосредственном участии Лейбница была создана Прусская академия наук (ныне – Берлинско-Бранденбургская академия наук), а сам ученый стал ее первым президентом. Это учреждение оказало свое влияние на российскую историю. В 1711 году на торжествах, посвященных свадьбе наследника престола Алексея Петровича и принцессы Брауншвейгской Софии Христины, с Лейбницем встретился император Петр I. После разговора с немецким философом он принял решение об учреждении Академии наук в Петербурге.

Все свои научные изыскания Лейбниц совмещал с «основной работой». В 1676 году после смерти курфюрста Майнцского он перешел на службу к герцогу Эрнесту-Августу Брауншвейг-Люнебургскому, который поручил ученому написать историю своего рода. Лейбниц трудился над этим манускриптом более трех десятков лет.

Ему далеко не всегда удавалось справляться с собственной гениальной многогранностью: «Не могу описать, насколько я отвлечен и рассеян. Я пытаюсь искать различные вещи в архивах, просматриваю старые бумаги и откапываю неопубликованные документы. Они помогут мне пролить свет на историю дома Брауншвейгов. Я получаю и отвечаю на множество писем. В то же время у меня есть столько математических исследований, философских идей и других новейших решений, которым я не могу позволить исчезнуть. Часто я даже не знаю, с чего начать».

Лейбниц так и не женился: наука поглотила его целиком и не оставила места для личной жизни. Когда он скончался, за гробом шел лишь его личный секретарь.

Ксения Реутова

Лейбниц Готфрид Вильгельм



Лейбниц Готфрид Вильгельм

Лейбниц Готфрид Вильгельм (1.7.1646 — 14.11.1716) — немецкий математик, физик и философ, организатор и первый президент Берлинской АН (1700), чл. Лондонского королевского о-ва (1673), чл. Парижской АН (1700).

Род. в Лейпциге. В 1661 Лейбниц поступил на юридический факультет Лейпцигского ун-та. Кроме юридических наук изучал философию и математику. В ун-те ознакомился с работами Аристотеля и Р. Декарта. Защитил диссертацию на степень бакалавра (1663), магистра философии (1664) и доктора права (1666). Состоял на юридической и дипломатической службе при дворе Майнцского курфюрста. Из Майнца он выезжал с дипломатической миссией в Париж. Творческая деятельность Лейбница развернулась именно в этот период в Париже, где он много работал и лично познакомился со многими математиками, в частности с X. Гюйгенсом, под руководством которого изучал работы Г. Галилея, Р. Декарта, П. Ферма, Б. Паскаля и самого Гюйгенса. В 1673 из Парижа Лейбниц выезжает в Лондон для демонстрации своей счетной машины в королевском о-ве. Там он познакомился с И. Барроу, а также с трудами И. Ньютона, «Логарифмотехникой» Г. Меркатора. Возвратясь в 1676 в Париж, Лейбниц разрабатывает важные вопросы дифференциального исчисления. В том же году Лейбниц уезжает в Ганновер, где работает сначала библиотекарем, а потом историографом двора Ганноверского герцога. Однако деятельность Лейбниц выходила далеко за пределы официальных обязанностей. Он занимается и вопросами химии, геологии, конструирует ветряной двигатель для насосов, выкачивающих воду из шахт.

Особенно плодотворной была научная деятельность Лейбница в области математики. В 1666 он опубликовал свою первую математическую работу «Размышления о комбинаторном искусстве». Сконструированная им счетная машина выполняла не только сложение и вычитание, как это было у Б. Паскаля, но и умножение, деление, возведение в степень и извлечение квадратного и кубического корней. Свыше 40 лет Лейбниц посвятил усовершенствованию своего изобретения. Именно поэтому его можно считать идейным вдохновителем современной машинной математики. Лейбниц заложил основы символической логики. Исследовал свойства некоторых кривых (в частности, цепной линии), разложение функций в ряды, ввел понятие определителя и выдвинул некоторые идеи, касающиеся теорий определителей, которые впоследствии развивали А. Вандермонд, О. Коши, К. Гаусс и окончательно разработал К. Якоби. Лейбниц до некоторой степени проложил путь таким новым дисциплинам, как политическая экономия и сравнительное языкознание. Но важнейшей его заслугой является то, что он, одновременно с И. Ньютоном, но независимо от него, завершил создание дифференциального и интегрального исчисления. При этом он исходил не из квадратуры кривых, как Ньютон, а из проблемы касательных.

Изучение работ Б. Паскаля и собственные исследования привели Лейбница в 1673-1674 к идее характеристического треугольника, который теперь используется при введении понятий производной и дифференциала в каждом учебнике дифференциального исчисления. В это время Лейбниц осуществил, и дальнейший шаг в создании нового исчисления — установил зависимость между прямой и обратной задачами о касательных. Через год он пришел к выводу, что «из обратного метода касательных выходит квадратура всех фигур». В октябре 1675 Лейбниц уже пользуется обозначением Sl для суммы бесконечно малых и операцию, противоположную суммированию, обозначает, подписывая букву d под переменной , а затем рядом с ней: dx. Знак интеграла в современной форме впервые встречается в его работе «О скрытой геометрии…» (1686). Лейбниц решил проблему касательных с помощью дифференциального исчисления. При этом он изложил правила дифференцирования произведения, степени, неявной функции. Эти результаты он опубликовал только в 1684 в статье «Новый метод максимумов и минимумов», где впервые назвал свой алгоритм дифференциальным исчислением. В 1693 Лейбниц опубликовал первые образцы интегрирования дифференциальных уравнений с помощью бесконечных рядов. Лейбниц ввел много математических терминов, которые теперь прочно вошли в научную практику: функция, дифференциал, дифференциальное исчисление, дифференциальное уравнение, алгоритм, абсцисса, ордината, координата, а также знаки дифференциала, интеграла, логическую символику и т. д.

С именем Лейбница в науке связано много открытий и гипотез, которые позже получили признание. В механике ему принадлежит понятие о «живых силах», в геологии — мысль, что Земля имеет историю. Он также высказал правильное предположение о происхождении ископаемых остатков животных и растений, отстаивая важную для биологии мысль об эволюции. Лейбниц создал собственную научную школу, в которую входили братья Бернулли, Г. Ф. Лопиталь и др. математики. Он первым нарушил и вековую традицию писать научные труды только на латинском языке.

http://about-math.narod.ru

История математики. Лекция № 10. Лейбниц до математики: imit_omsu — LiveJournal

Александр Савельевич Штерн dreameranalyst выложил в интернет еще одну лекцию по курсу «История математики». Читаем, наслаждаемся.
Оригинал взят тут.

Лекция № 10.


Переходим к Лейбницу.

Сейчас пора поговорить о следующем из творцов математического взрыва. Это — Готфрид Вильгельм Лейбниц.

(Готфрид Вильгельм Лейбниц)


На фоне мощной человеческой цельности Декарта и Паскаля он проигрывает, кажется несерьёзным и даже жуликоватым. Вот что пишет о нём Бертран Рассел:
«Лейбниц (1646-1716) был одним из выдающихся умов всех времен, но как человеческим существом им трудно восхищаться».

Первое относится не только к математике. Основополагающие принципы философии Декарта, конечно, будут актуальны в любом времени, в котором будет развиваться философская мысль. Но, если говорить, так сказать, об объёме философских идей, сохранивших актуальность в 20-м веке, в этом сравниться с Лейбницем из его современников, видимо, не может никто. Что же касается его личности, что ж, «попробуем разобраться» («Попробуем разобраться!» — девиз жж А.С.Штерна — прим.редактора жж imit_omsu). Как всегда, благодарен содержательным поправкам и замечаниям.


(Готфрид Вильгельм Лейбниц)

Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1646-1716)

ДО МАТЕМАТИКИ
Первое, что мы должны осознать: мы находимся в совершенно другой стране. Франция и Англия были в 17-м столетии абсолютными центрами научной и философской мысли. Тому можно указать много причин, одна из которых весьма банальна: это были самые сильные и богатые страны Европы. Организация научных исследований требует денег, которые смогла мобилизовать сильная королевская власть. Кроме того, для того, чтобы в науку втягивалось достаточно много людей, надо, чтобы эти люди располагали временем (вспомним, что и Ферма, и Виет занимались математикой в свободное от основных занятий время). А для этого, в свою очередь, страна должна быть достаточно богатой. Небольшие немецкие государства (кроме, может быть, Пруссии), большинство из которых прошло через разрушения Тридцатилетней войны, такими не были. Немцы, начав Реформацию, внесли огромный вклад в религиозное развитие Европы, но математикой и философией они в то время занимались мало. Мощное развитие этих наук в немецких землях началось именно с Лейбница. И через 100 лет именно туда переместился абсолютный центр развития философской мысли Европы, а ещё черёз полвека, то же произошло и с мыслью математической.

Лейбниц родился в 1646 году в Лейпциге, в княжестве Саксония. Семья была не аристократическая, как у Декарта и Лейбница, а профессорская. Профессорами университета в Лейпциге были его отец и дед. Если Паскаль сам стал строить геометрию, то Лейбниц совершил другой подвиг самообразования: он сам изучил латынь. При этом он не пользовался не только помощью учителей, но и никакими учебниками. Всё обучение опиралось только на историю Тита Ливия и ещё одну, более простую, историческую книгу с большим количеством картинок. Сейчас популярен метод изучения иностранного языка по книге, но так взрослые люди учат обычно не первый свой иностранный язык, а Лейбницу тогда не было и 12 лет. С 13 лет он начинает изучать логику и делает это так же, как учил латынь, запоем. Позднее Лейбниц писал «мой ум не могли заполнить предметы одного рода…»

В 15 лет он поступает в университет Лейпцига. К этому времени Лейбниц полный сирота: и отец, и мать, умерли раньше. Почти сразу же после этого возникает интерес к математике, но удовлетворить его невозможно. В Лейпциге нет ни серьёзных математиков, ни современной математической литературы. Он поступает на юридический факультет и в 20 лет становится доктором права, после чего поступает на службу в город Майнц. Майнц представлял собой небольшое католическое княжество, во главе которого стояла духовная особа — архиепископ Майнцский. Этот человек пользовался традиционным уважением и имел значительный вес во всей германской политике. Курфюрст взял молодого Лейбница на должность советника. Заниматься он должен был не математикой и не правом, а вопросами дипломатии и политики. Рассел иронизирует по этому поводу «во все времена политика была более прибыльным делом, чем наука». Но молодой Лейбниц не был обычным политиком или чиновникам. Проекты, которыми он занимался, поражали своим размахом. Вот два из них.

Было свободно место польского короля, на которое претендовали представители самых разных европейских династий. У немецких князей была своя кандидатура, представлять которую на польский сейм поехал представитель курфюрста Майнца. Лейбницу было поручено разработать систему аргументов для этого посланника. Этот документ вошёл в историю под названием «Меморандум к выборам польского короля». Самое удивительное в нём то, что он был написан в форме математического трактата с леммами и теоремами. Последняя теорема, естественно, гласила, что польским королём должен быть только немецкий князь Фридрих Вильгельм и никто иной. Случай довольно курьёзный: Лейбниц ещё толком и не изучал математики, а уже был охвачен модой писать всё на свете в форме математических трактатов, как Спиноза или Джон Донн. Математика играла в этом документе чисто формальную роль, но сам документ вошёл в историю дипломатии убедительной логикой и стилистическим блеском. Однако, это не помогло. Королём выбрали всё же польского дворянина.

Второй политический замысел Лейбница был ещё более глобальным и сыграл важнейшую роль в его личной судьбе. В то время большинство германских государств относились к Франции как к опаснейшему из своих потенциальных противников. У правителя Майнца возник план, который обезопасил бы Францию. Предполагалось натравить её на турок, чтобы, увязнув в этой войне, она снизила бы интерес к европейской политике и влияние на неё. Соответствующие аргументы предложено было разработать Лейбницу. Направлением удара он рекомендовал выбрать Египет, находившийся тогда под властью Османской империи. На этот раз Лейбница включили и в состав посольства, направленного ко двору Людовика XIV. Меморандум, представленный Лейбницем, на этот раз был изложен не в математической форме, но содержал очень подробную и чёткую аргументацию привлекательности, и почётности войны с турками для французского королевства. Документ был передан королю-солнце, а Лейбниц в Париже ждал ответа и аудиенции. Ни того, ни другого он не дождался. Прошло немало времени, прежде чем немецкой делегации дали понять, что воевать с турками король не хочет.

У сочинённого Лейбницем меморандумом судьба оказалась весьма необычной. Через полтора столетия Наполеон, на самом деле совершивший поход в Египет, ознакомился с сочинением Лейбница. Книга произвела очень большое впечатление и поразила Наполеона прежде всего близостью аргументации и почти полным совпадением планов экспедиции. Так что великий политик и полководец за полтора столетия ранее имел предшественника в лице Лейбница. Но важнейшее значение «парижского сидения» (после фактического отказа короля он прожил в Париже ещё три года) для истории заключается в том, что за это время Лейбниц становится профессиональным математиком.



Все лекции курса «История математики в контексте истории культуры» по метке «ИМ в контексте ИК»

ЛЕЙБНИЦ

Gottfried Wilhelm Leibniz

01.07.1646 — 14.11.1716

Первая машина, позволяющая легко производить вычитание, умножение и деление, была изобретена в Германии Готфридом Вильгельмом Лейбницем. Он родился в Лейпциге и принадлежал к роду, известному своими учеными и политическими деятелями. Его отец был профессором этики, а дед — профессором права Лейпцигского университета.
В 1661 году Лейбниц становится студентом.  Он изучает философию, юриспруденцию и математику в университетах Лейпцига, Вены и Альтдорфа. В 1666 году он защищает сразу две диссертации на звание доцента — по юриспруденции и математике. Затем Лейбниц служит при дворах немецких князей в качестве юриста, находится на дипломатической службе. С 1676 года и до самой смерти Лейбниц состоял советником и библиотекарем при дворе ганноверского герцога. На протяжении 40 лет Лейбниц вел научные исследования, публиковал научные труды, поддерживал переписку со всеми ведущими учеными эпохи.

В 1672 году, находясь в Париже, Лейбниц познакомился с голландским математиком и астрономом Христианом Гюйгенсом. Видя, как много вычислений приходится делать астроному, Лейбниц решил изобрести механическое устройство для расчетов. В 1694 году он завершил создание механического калькулятора. Развив идеи Паскаля, Лейбниц использовал операцию сдвига для поразрядного умножения чисел. Лейбниц продемонстрировал свою машину во Французской академии наук и Лондонском королевском обществе. Один экземпляр машины Лейбница попал к Петру Великому, который подарил ее китайскому императору, желая поразить того европейскими техническими достижениями.

Готфрид Лейбниц сделал немало открытий и в других областях математики: в комбинаторике, в алгебре (начала теории определителй), в геометрии (основы теории спорикосновения кривых), одновременно с Гюйгенсом разрабатывал теорию огибающих семейства кривых и других. Лейбниц выдвинул так же теорию геометрических счислений.

В логике, развивая учение об анализе и синтезе, Лейбниц впервые сформулировал закон достаточного основания, дал современную формулировку закона тождества. В «Об искусстве комбинаторики» (1666) предвосхитил некоторые моменты современной математической логики, он выдвинул идею о применении в логике математической символики и построении логических исчислений, поставил задачу логического обоснования математики.

Готфрид Лейбниц сыграл важную роль в истории создания электронно-вычислительных машин: он предложил использовать для целей вычислительной математики бинарную систему счисления, писал о возможности машинного моделирования функций человеческого мозга. Лейбницу принадлежит термин «модель».

Двоичная система счисления Лейбница. Страница из Explication de l’Arithmetique Binaire

Татьяна Мельничук | Вильгельм Готфрид Лейбниц

Готфрид Вильгельм Лейбниц

Готфрид Вильгельм Лейбниц — немецкий философ, логик, математик, физик, юрист, историк, дипломат, изобретатель и языковед. Родился 1 июля 1646 года в семье профессора Лейпцигского университета Фридриха Лейбница. У его отца, который умер, когда мальчику было всего 8 лет, была прекрасная библиотека, которая во многом сформировала интерес ребёнка к наукам и языкам.

Молодой Лейбниц самостоятельно изучил латынь и греческий язык. Образование он получил в Лейпцигском и Йенском университетах. С юных лет его эрудиция и ораторский талант привлекают к нему внимание и вызывают восхищение окружающих. 5 ноября 1666 года в Нюрнбергском университете молодой учёный успешно защитил диссертацию на соискание степени доктора права.

Готфрид Лейбниц заметно опережал своё время. Он внёс значительный вклад в развитие логики, математического анализа, философии. Его работы в этих областях, такие как «О комбинаторном искусстве», «Рассуждение о метафизике» пользовались и продолжают пользоваться заслуженным вниманием учёных. Лейбниц изобрёл собственную конструкцию арифмометра, который намного лучше паскалевского арифмометра выполнял умножение, деление и извлечение корней.

В 1697 году Лейбниц знакомится с Петром I, который в то время путешествовал по Европе. Благодя плодотворному общению с учёным, русский царь впоследствии одобрил создание Академии наук в Петербурге, что положило начало развитию российской науки по западноевропейскому образцу. В 1700 году Лейбниц основал Берлинскую Академию наук. Он же стал её первым президентом. Помимо этого он был избран иностранным членом Парижской Академии наук.

Сегодня трудами Лейбница в основном интересуются профессиональные математики и именно поэтому чаще всего его считают гениальным математиком. Однако, этого великого учёного следует по праву считать основоположником кибернетики и человеком, который заложил основу в развитие современной компьютерной техники и языков программирования, как бы парадоксально это не звучало, учитывая, что годы жизни Лейбница пришлись на 17 век.

Дело в том, что он одним из первых заинтересовался двоичной системой исчисления. В 1666 г., заканчивая университет — еще задолго до изобретения механического калькулятора, — двадцатилетний Лейбниц набросал работу «Искусство составления комбинаций» (De Art Combinatoria), которую скромно охарактеризовал как «сочинение школьника». В этой работе были заложены основы общего метода, который позволяет свести мысль человека — любого вида и на любую тему — к совершенно точным формальным высказываниям. Таким образом, открывалась возможность перевести логику (или, как называл ее Лейбниц, законы мышления) из словесного царства, полного неопределенностей, в царство математики, где отношения между объектами или высказываниями определяются совершенно точно. В дополнение к своему предложению сделать все рациональное мышление математически строгим, Лейбниц призвал к принятию «общего языка, бесконечно отличающегося от всех существовавших до сих пор, поскольку символы и даже слова его должны направлять наш разум, а ошибки, кроме тех, что заложены в исходных фактах, будут просто ошибками вычислений. Построить или изобрести такой язык или такие понятия очень трудно, но зато он будет легко понятен без всяких словарей».

Современники Лейбница, возможно, слегка озадаченные, а может быть, и возмущенные его предложением, оставили работу ученого без внимания, да и сам Лейбниц, по-видимому, не стал развивать идею нового языка. Однако десятилетие спустя он занялся исследованием строгих математических законов применительно к новой области — двоичной системе исчисления. На кропотливой работе по переводу чисел из десятичной системы в двоичную его вдохновляла старинная рукопись, случайно попавшаяся ему на глаза. Это был комментарий по поводу знаменитой китайской книги «Ай чинг» (Книга перемен), в которой осуществлена попытка описать Вселенную во всей ее сложности с помощью ряда философских категорий противоположностей — например, таких понятий, как темнота и свет, мужское и женское начало. Ободренный этим созвучием со своими математическими концепциями Лейбниц терпеливо исследовал бесконечные комбинации нулей и единиц, формализуя найденные им закономерности и закладывая тем самым основы современной двоичной системы.

Однако при всей своей гениальности Лейбниц так и не смог найти полезного применения полученным результатам. Изобретенный им механический калькулятор предназначался для работы с десятичными числами, и Лейбниц не стал переделывать его под двоичные числа, возможно, устрашившись очень длинных цепочек двоичных разрядов, необходимых для представления чисел. Поскольку в двоичной системе фигурируют лишь две цифры, 0 и 1, десятичное число 8 записывается в двоичной форме как 1000, а двоичный эквивалент десятичного числа 1000 выглядит уже совсем громоздким: 1111101000. В дальнейшем Лейбницу, правда, приходила мысль использовать двоичные числа в вычислительном устройстве, но он даже не пытался построить такую машину. Вместо этого он наделил двоичную систему счисления мистическим смыслом, видя в ней одно из проявлений Создателя. Цифра 1 ассоциировалась у него с Богом, а нуль означал пустоту — Вселенную до того, как в ней появились иные существа, кроме Бога. Из единицы и нуля, считал Лейбниц, произошло все; точно так же любое математическое понятие можно выразить этими двумя цифрами.

Если у Лейбница и возникала мысль, что двоичная система может стать тем универсальным логическим языком, о котором говорилось в его сочинении 1666 г., он не высказывал ее вслух.

В завершение предлагаю посмотреть замечательный фильм, посвящённый великому учёному Готфриду Вильгельму Лейбницу: